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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 34

Calcule a integral   ∫ 1 x . ( ln ⁡ x ) 2 d x   . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos o método da substituição.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a expressão:

∫ 1 x . ( ln ⁡ x ) 2 d x = ∫ 1 x .   ( ln ⁡ x ) - 2 d x  

Depois vamos simplificar a equação usando substituição:

w = ln ⁡ x

d w = ( ln ⁡ x ) '   d x

d w = 1 x   d x

∫ 1 x .   ( ln ⁡ x ) - 2 d x =   ∫ w - 2 d w

=   w - 2 + 1 - 2 + 1

=   w - 1 - 1

=   - 1 w

Passo 3

Substituir w por ln ⁡ x

=   - 1 w

=   - 1 ln ⁡ x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ 1 x . ( ln ⁡ x ) 2 d x =   - 1 ln ⁡ x + c

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