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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 35

Calcule a integra ∫   ln ⁡ x   x 2   d x . Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Porém, nessa utilizaremos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   l n   x

    Pois é o valor mais simples de derivar    

d u   =   ( ln ⁡ x ) ’ .   d x        

d u   =   1 x   d x        

    d v   =   1 x 2   d x

  v = ∫ x - 2   d x

    v   =   x - 2 + 1 - 2 + 1  

v   =   x - 1 - 1  

v   = -   1 x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫   ln ⁡ x   x 2   d x = l n   x . -   1 x -   ∫ -   1 x   1 x   d x  

= l n   x . -   1 x - ( - 1 ) ∫   1 x 2   d x  

= l n   x . -   1 x + ∫ x - 2   d x  

= -   l n   x x + x - 2 + 1 - 2 + 1

= -   l n   x x + x - 1 - 1

= -   l n   x x + -   1 x

= -   l n   x x -   1 x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫   ln ⁡ x   x 2   d x = -   l n   x x -   1 x + c

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