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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 41

Calcule a integral ∫ s e n   3 x . cos ⁡ 2 x d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição.

Também vamos precisar da identidade trigonométrica:

( cos ⁡ a ) . ( s e n   b ) = 1 2 ( s e n a + b - s e n a - b )

Passo 2

Usamos a Id. Trigonométrica para poder transformar a expressão:

∫ s e n   3 x . cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 2 ( s e n 2 x + 3 x - s e n 2 x - 3 x ) d x

= ∫ 1 2 ( s e n 5 x - s e n - x ) d x

Como a função seno é impar, então: s e n - x = - s e n ( x )

= ∫ 1 2 s e n   5 x - - s e n   x d x

= ∫ 1 2 s e n   5 x + s e n   x d x

= ∫ 1 2 . s e n   5 x d x + ∫ 1 2 . s e n   x d x

= ∫ 1 2 . s e n   5 x d x + 1 2 . ∫ s e n   x d x

= 1 2 . ∫ s e n   5 x d x + 1 2 . - cos ⁡ x

Passo 3

Para continuar desenvolvendo vamos utilizar o método da substituição para resolver ∫ s e n   5 x d x :

w =   5 x

d w = 5 x ' d x

d w = 5   d x

Multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 5 5 é o melhor número, pois é o mesmo que multiplicar por 1:

∫ s e n   5 x d x =   5 5 ∫ s e n   5 x d x

= 1 5 ∫ s e n   5 x . 5 d x

= 1 5 ∫ s e n   w d w

= 1 5 - cos ⁡ w

Substituímos   w =   5 x

= 1 5 - cos ⁡ 5 x  

Agora colocamos o resultado no lugar de ∫ s e n   5 x d x :

= 1 2 . ∫ s e n   5 x d x + 1 2 . - cos ⁡ x

= 1 2 . 1 5 - cos ⁡ 5 x   + 1 2 . - cos ⁡ x

= - cos ⁡ 5 x   10 - cos ⁡ x 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ s e n   3 x . cos ⁡ 2 x d x = - cos ⁡ 5 x   10 - cos ⁡ x 2 + c

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