Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 18
18)
(a) Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo local de .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão:
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E teremos que dizer algumas coisas sobre ela.
No item (a) precisamos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Para saber isso podemos usar as informações dadas pela derivada da função, pois ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, se
Significa que a função é crescente, já que a reta tangente tem derivada positiva. E se
A função é decrescente, já que a derivada é negativa.
No item (b), queremos encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Para isso também usamos a ideia dada pela inclinação da reta tangente. Ou seja, a derivada. Assim:
Teremos um ponto de máximo ou mínimo da função, já que a inclinação da reta tangente será nula.
No item (c) vamos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
E aqui faremos uso da derivada segunda. Sabendo que se:
Nossa curva terá concavidade para baixo.
E se
E nossa curva terá concavidade para cima.
Agora que já sabemos o que fazer em cada item, vem comigo que te mostro como vai ficar tudo isso.
Passo 2
Primeiramente vamos obter a derivada de :
Como
Perceba que essa função é formada por uma multiplicação entre duas outras funções. Sendo assim, usaremos a regra do produto para encontrar sua derivada. Assim, faremos:
E sua derivada será dada por:
Sendo:
e sua derivada será
E para
E sua derivada será:
Aplicando a regra do produto, teremos:
Que pode ser escrita como:
Beleza, agora vamos aos itens.
Passo 3
Item (a)
Uma função é crescente onde sua derivada é positiva, ou seja:
Então faremos:
Colocando em evidência.
Mas perceba que nunca será negativa, então basta olharmos para:
Então:
E temos
Assim:
Passo 4
Uma função é decrescente onde sua derivada é negativa, ou seja:
Assim,
E de modo análogo, teremos em evidência. Ficamos com:
Logo, é crescente em e decrescente em .
Passo 5
Item b:
Para máximos e mínimos locais devemos achar os pontos críticos, para isso faremos:
com
E aqui temos que nunca será zero, logo basta analisar:
Que pode ser dada por:
Então:
O único ponto crítico é , e como cresce até esse ponto e decresce a partir dele, então é uma máximo local.
Passo 6
Item (c) vamos estudar a concavidade da função, então precisaremos de sua derivada de segunda ordem.
Lembrando que
Faremos sua derivação aplicada a regra do produto em cada um dos termos de modo análogo ao que fizemos no passo 2, assim, ficamos com:
Que organizando um pouco melhor se torna:
E tirando o mmc entre os denominadores, teremos:
Passo 7
Sabendo que:
A concavidade de uma função é para cima se sua derivada segunda for maior que zero:
Então:
Como o denominador nunca será negativo, podemos olhar somente para o numerador. Assim, precisamos que:
Assim:
Além disso, a concavidade de uma função é para baixo se sua derivada segunda for menor que zero:
De mesma forma, basta olhar para:
Assim,
E quando a derivada segunda de uma função é zero em um ponto então esse ponto é o ponto de inflexão, logo:
O olhando apenas para o numerador novamente, teremos:
Portanto, possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .
Resposta
(a) é crescente em e decrescente em .
(b) é uma máximo local
(c) possui concavidade para baixo no intervalo , concavidade para cima no intervalo e ponto de inflexão em .