Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 25

Calcule a integral.

25 . int x^2 sqrt(3 + 2 x - x^2)

Passo 1

Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no integrando, no caso:

3 + 2 x - x^2

Você concorda comigo que:

4 - (x - 1)^2 = 3 + 2 x - x^2

O que fizemos foi completar quadrado.

Nossa integral fica da seguinte maneira:

int x^2 sqrt(4 - (x - 1)^2) d x

Passo 2

Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:

u = x - 1

x = u + 1

d u = d x

Com isso nossa integral fica da seguinte maneira:

int ( u + 1 )^2 sqrt(4 - u^2) d u

Passo 3

Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

u = 2 sin theta

theta = sin^(- 1) ((u)/(2))

d u = 2 cos theta d theta

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int ( 2 sin theta + 1 )^2 sqrt(4 - ( 2 sin theta )^2) 2 cos theta d theta

= int ( 2 sin theta + 1 )^2 sqrt(4 - 4 sin^2 theta) 2 cos theta d theta

= int ( 2 sin theta + 1 )^2 2 sqrt(1 - sin^2 theta) 2 cos theta d theta

Lembrando que:

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

Logo, temos que:

4 int (2 sin theta + 1)^2 sqrt(cos^2 theta) cos theta d theta

= 4 int (2 sin theta + 1)^2 cos^2 theta d theta

Agora, lembrando mais uma vez que:

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

Então, temos que:

4 int (2 sin theta + 1)^2 (1 - sin^2 theta) d theta

Passo 4

Do último passo ficamos com:

4 int (2 sin theta + 1)^2 (1 - sin^2 theta) d theta

Agora, vamos abrir essas operações do integrando, logo:

4 int ( 4 sin^2 theta + 4 sin theta + 1 ) (1 - sin^2 theta) d theta

= 4 int ( - 4 sin^4 theta - 4 sin^3 theta - sin^2 theta + 4 sin^2 theta + 4 sin theta + 1 ) d theta

= 4 int ( - 4 sin^4 theta - 4 sin^3 theta + 3 sin^2 theta + 4 sin theta + 1 ) d theta

Como no nosso integrando só tem somas, podemos separar essa integral em somas de integrais de cada termo, assim:

= 4 int - 4 sin^4 theta d theta + 4 int - 4 sin^3 theta d theta + 4 int 3 sin^2 theta d theta + 4 int 4 sin theta d theta + 4 int 1 d theta

= - 16 int sin^4 theta d theta - 16 int sin^3 theta d theta + 12 int sin^2 theta d theta + 16 int sin theta d theta + 4 int d theta

Olhando o que temos, podemos ver que as duas ultimas integrais são de boas de resolver, o problema é o resto.

Para isso, vamos usar uma fórmula que existe para resolver integral de senos com o expoente alto, ela não aparece no livro, mas se você pesquisar na internet sobre é fácil de encontrar, a fórmula é o seguinte:

int sin^m theta d theta = - (cos theta sin^(m - 1) theta)/(m) + (m - 1)/(m) int sin^(- 2 + m) theta d theta

Passo 5

Então vamos usar a fórmula, para a primeira integral, a do sin^4 theta , logo m = 4 .

int sin^4 theta d theta = - (cos theta sin^(4 - 1) theta)/(4) + (4 - 1)/(4) int sin^(- 2 + 4) theta d theta

= - (cos theta sin^3 theta)/(4) + (3)/(4) int sin^2 theta d theta

Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:

4 cos theta sin^3 theta - 12 int sin^2 theta d theta - 16 int sin^3 theta d theta + 12 int sin^2 theta d theta + 16 int sin theta d theta +

+ 4 int d theta

Logo, ficamos com:

4 cos theta sin^3 theta - 16 int sin^3 theta d theta + 16 int sin theta d theta + 4 int d theta

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula para a integral de sin^3 theta , logo m = 3 .

int sin^3 theta d theta = - (cos theta sin^(3 - 1) theta)/(3) + (3 - 1)/(3) int sin^(- 2 + 3) theta d theta

= int sin^3 theta d theta = - (cos theta sin^2 theta)/(3) + (2)/(3) int sin theta d theta

Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:

4 cos theta sin^3 theta + (16)/(3) cos theta sin^2 theta - (32)/(3) int sin theta d theta + 16 int sin theta d theta + 4 int d theta

= 4 cos theta sin^3 theta + (16)/(3) cos theta sin^2 theta + (16)/(3) int sin theta d theta + 4 int d theta

Agora só temos integrais tranquilas para se resolver.

Passo 7

Então, temos:

4 cos theta sin^3 theta + (16)/(3) cos theta sin^2 theta + (16)/(3) int sin theta d theta + 4 int d theta

Realizando a integração, ficamos com:

4 cos theta sin^3 theta + (16)/(3) cos theta sin^2 theta - (16)/(3) cos theta + 4 theta

Agora, precisamos voltar com as substituições feitas para acharmos o resultado na variável original.

Passo 8

Vamos começar a voltar então, temos que:

theta = sin^(- 1) ((u)/(2))

=> 4 cos (sin^(- 1) ((u)/(2))) sin^3 (sin^(- 1) ((u)/(2))) + (16)/(3) cos (sin^(- 1) ((u)/(2))) sin^2 (sin^(- 1) ((u)/(2))) -

- (16)/(3) cos (sin^(- 1) ((u)/(2))) + 4 (sin^(- 1) ((u)/(2)))

Para continuar vamos notar que:

sin (sin^(- 1) ((u)/(2))) = (u)/(2)

Já que uma é função inversa da outra.

E lembrando também que:

c os (sin^(- 1) (z)) = sqrt(1 - z^2)

Logo temos que nosso resultado fica da seguinte maneira:

4 sqrt(1 - (u^2)/(4)) ((u^3)/(8)) + (16)/(3) sqrt(1 - (u^2)/(4)) ((u^2)/(4)) - (16)/(3) sqrt(1 - (u^2)/(4)) + 4 (sin^(- 1) ((u)/(2)))

= (u^3)/(2) sqrt((4 - u^2)/(4)) + (4)/(3) u^2 sqrt((4 - u^2)/(4)) - (16)/(3) sqrt((4 - u^2)/(4)) + 4 sin^(- 1) ((u)/(2))

= (u^3)/(4) sqrt(4 - u^2) + (2)/(3) u^2 sqrt(4 - u^2) - (8)/(3) sqrt(4 - u^2) + 4 sin^(- 1) ((u)/(2))

Agora, voltando mais uma substituição, temos que:

u = x - 1

=> (( x - 1 )^3)/(4) sqrt(4 - ( x - 1 )^2) + (2)/(3) ( x - 1 )^2 sqrt(4 - ( x - 1 )^2) - (8)/(3) sqrt(4 - ( x - 1 )^2) + 4 sin^(- 1) ((x - 1)/(2))

= sqrt(4 - (x - 1)^2) [(1)/(4) (x - 1)^3 + (2)/(3) (x - 1)^2 - (8)/(3)] + 4 sin^(- 1) ((x - 1)/(2))

Resposta

int x^2 sqrt(3 + 2 x - x^2) = sqrt(4 - (x - 1)^2) [(1)/(4) (x - 1)^3 + (2)/(3) (x - 1)^2 - (8)/(3)] + 4 sin^(- 1) ((x - 1)/(2))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ x 2 + 9d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ 9 - x 2d x
Calcule int (x^2 + 1)/(sqrt(2 x - x^2)) d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ 3 - 4 x 2d x
Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando ∫ x 2 - 9d x