Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 25
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro, antes de resolver a integral, vamos mexer no integrando, no caso:
Você concorda comigo que:
O que fizemos foi completar quadrado.
Nossa integral fica da seguinte maneira:
Passo 2
Agora vamos fazer uma substituição simples, só para integral ficar com uma cara conhecida, vamos fazer o seguinte:
Com isso nossa integral fica da seguinte maneira:
Passo 3
Agora podemos fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção , do tipo:
Realizando a substituição a nossa integral fica:
Lembrando que:
Logo, temos que:
Agora, lembrando mais uma vez que:
Então, temos que:
Passo 4
Do último passo ficamos com:
Agora, vamos abrir essas operações do integrando, logo:
Como no nosso integrando só tem somas, podemos separar essa integral em somas de integrais de cada termo, assim:
Olhando o que temos, podemos ver que as duas ultimas integrais são de boas de resolver, o problema é o resto.
Para isso, vamos usar uma fórmula que existe para resolver integral de senos com o expoente alto, ela não aparece no livro, mas se você pesquisar na internet sobre é fácil de encontrar, a fórmula é o seguinte:
Passo 5
Então vamos usar a fórmula, para a primeira integral, a do , logo .
Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:
Logo, ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula para a integral de , logo .
Substituindo na nossa sequência de integrais, ficamos com:
Agora só temos integrais tranquilas para se resolver.
Passo 7
Então, temos:
Realizando a integração, ficamos com:
Agora, precisamos voltar com as substituições feitas para acharmos o resultado na variável original.
Passo 8
Vamos começar a voltar então, temos que:
Para continuar vamos notar que:
Já que uma é função inversa da outra.
E lembrando também que:
Logo temos que nosso resultado fica da seguinte maneira:
Agora, voltando mais uma substituição, temos que: