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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9c

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando

∫ x 2 + 9   d x

Passo 1

Como queremos eliminar a raiz do termo integrando, podemos lembrar lá da seguinte relação trigonométrica:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ t dos dois lados:

1 + t g 2 t = sec 2 ⁡ t

Como tem um 9 dentro da raiz, vamos multiplicar por 9 dos dois lados.

9 + 9 t g 2 t = 9 sec 2 ⁡ t

Repare que dentro da raiz temos x 2 + 9 , então podemos fazer seguinte substituição:

x = 3 tg ⁡ t

Derivando,

d x = 3 sec 2 ⁡ t d t

Passo 2

Voltando para integral:

I = ∫ 9 t g 2 t + 9   3 sec 2 ⁡ t d t

Assim,

I = ∫ 3 sec 2 ⁡ t 9 sec 2 ⁡ t   d t

Portanto,

I = ∫ 3 sec 2 ⁡ t ⋅ 3 sec ⁡ t d t =   ∫ 9 sec 3 ⁡ t d t

Opa, viu que eliminamos a raiz?! Então fechou.

Resposta

x = 3 tg ⁡ t

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