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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 10

Calcule a integral.

10 . int_0^((2)/(3)) sqrt(4 - 9 x^2) d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Em situações do tipo da nossa questão e da tabela abaixo, é interessante utilizar de substituições trigonométricas para resolver:

Passo 2

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, como comentado:

x = (2)/(3) sin theta

Utilizando do arco seno:

=> theta = sin^(- 1) ((3)/(2) x)

d x = (2)/(3) cos theta d theta

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

theta_1 = sin^(- 1) ( 0 ) = 0

theta_2 = sin^(- 1) ((3)/(2) (2)/(3)) = (pi)/(2)

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

int_0^((pi)/(2)) sqrt(4 - 9 ((2)/(3) sin theta)^2) (2)/(3) cos theta d theta

= int_0^((pi)/(2)) sqrt(4 - 9 ((4)/(9) sin^2 theta)) (2)/(3) cos theta d theta

= (2)/(3) int_0^((pi)/(2)) cos theta sqrt(4 - 4 sin^2 theta) d theta

= (2)/(3) int_0^((pi)/(2)) cos theta 2 sqrt(1 - sin^2 theta) d theta

Lembrando que:

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta

Logo, temos que:

= (4)/(3) int_0^((pi)/(2)) cos theta cos theta d theta

= (4)/(3) int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta

Passo 4

Para continuar nossa integração, temos que modificar nosso integrando, vamos fazer isso com a seguinte propriedade:

cos^2 theta = (1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)

Então temos que:

(4)/(3) int_0^((pi)/(2)) ((1)/(2) + (cos 2 theta)/(2)) d theta

= (4)/(3) (int_0^((pi)/(2)) (1)/(2) d theta + int_0^((pi)/(2)) (cos 2 theta)/(2) d theta)

Continuando nossa integração.

(4)/(3) ((1)/(2) ((theta)|_0^((pi)/(2)) + (1)/(2) (((sin 2 theta)/(2))|_0^((pi)/(2)))

= (4)/(3) ((1)/(2) ((pi)/(2) - 0) + (1)/(4) (sin pi - sin 0))

= (4)/(3) ((pi)/(4)) = (pi)/(3)

Resposta

int_0^((2)/(3)) sqrt(4 - 9 x^2) d x = (pi)/(3)

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