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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9a

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando

∫ 9 - x 2   d x

Passo 1

Como queremos eliminar a raiz do termo integrando, podemos lembrar lá da seguinte relação trigonométrica:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Como tem um 9 dentro da raiz, vamos multiplicar por 9 dos dois lados.

9 s e n 2 t + 9 cos 2 ⁡ t = 9

Passando o termo 9 cos 2 ⁡ t para o outro lado:

9 s e n 2 t = 9 - 9 cos 2 ⁡ t

Repare que dentro da raiz temos 9 - x 2 , então podemos fazer seguinte substituição:

x = 3 cos ⁡ t  

Derivando,

d x = - 3 s e n t d t

Passo 2

Voltando para integral:

I = ∫ 9 - 9 cos 2 ⁡ t   - 3 s e n t d t

Assim,

I = ∫ - 3 s e n t 9 s e n 2 t   d t

Portanto,

I = ∫ - 3 s e n t 3 s e n t   d t =   ∫ - 9 s e n 2 t   d t

Opa, viu que eliminamos a raiz?! Então fechou.

Resposta

x = 3 cos ⁡ t

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