Calcule a integral.

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos que resolver a seguinte integral:

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x

Para isso, vamos usar a propriedade de que a integra da soma/subtração é a soma/subtração de integrais:

∫ f x ± g x d x = ∫ f x d x ± ∫ g x d x

E também vamos usar a propriedade de que uma constante pode sair da integral:

∫ C f x d x = C ∫ f x d x

E para resolver cada integral vamos usar a ideia de antiderivada.

Aqui temos a potência de x , e a regra da antiderivada para a potência de x é:

x n = x n + 1 n + 1 '

Vamos ter também uma constante. A regra da antiderivada para a constante é:

C = C x '

E como temos uma integral definida, teremos que substituir os limites de integração no final, fazendo:

∫ a b f x d x = F x | b a = F b - F ( a )

Passo 2

Primeiramente vamos abrir nossa integral em 3 integrais:

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x = ∫ 1 3 1 d x + ∫ 1 3 2 x d x - ∫ 1 3 4 x 3 d x

Tirando as constantes teremos:

∫ 1 3 1 d x + 2 ∫ 1 3 x d x - 4 ∫ 1 3 x 3 d x

E resolvendo pela propriedade da potência de x e da constante teremos:

x + 2 x 2 2 - 4 x 4 4

x + x 2 - x 4

Passo 3

Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, devemos substituir os limites de integração:

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x = x + x 2 - x 4 3 1

3 + 3 2 - 3 4 - 1 + 1 2 - 1 4

3 + 9 - 81 - 1 - 1 + 1

Logo, o resultado dessa integral é:

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x = - 70

Resposta

∫ 1 3 1 + 2 x - 4 x 3 d x = - 70

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