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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 19

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y = x , x = 1 y 2 e y = 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Vemos que o eixo x está limitado entre duas funções de y . Por isso, é mais tranquilo a gente descrever nossa região com funções de y , o que muda nossas fórmulinhas para:

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ c d y ( f y - g y ) d y

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ c d 1 2 f y 2 - g y 2 d y

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em y , precisamos igualar as duas equações:

y = x ,     x = 1 y 2

y = 1 y 2

Resolvendo a equação:

y = 1

E o enunciado diz que nossa região é limitada por y = 2 . Podemos então dizer que:

1 < y < 2

E x está limitado entre as funções de y :

Vemos que por cima temos a função x = f y = y e por baixo temos x = f y = 1 y 2 .

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ c d y ( f y - g y ) d y

No eixo x , nossa região está entre x = f y = y (por cima) e x = g y = 1 / y 2 (por baixo). E em y , entre 1 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ 1 2 y - 1 y 2 d x = 1

Nossa integral fica:

y - = 1   ∫ 1 2 y y - 1 y 2 d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

y - = 7 3 - I n ( 2 )

Passo 4

Agora a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ c d 1 2 f y 2 - g y 2 d y

x - = 1 1 ∫ 1 2 1 2 y 2 - 1 y 2 2 d y

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

x - = 49 48

Resposta

x - , y - = 49 48 , 7 3 - I n ( 2 )

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