Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 15

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y = x 2 e y = x + 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x , precisamos igualar as duas equações:

y = x 2 ,     y = x + 2

x 2 = x + 2

Resolvendo a equação:

x = - 1 ,     x = 2

Podemos então dizer que:

- 1 < x < 2

Para y , eu vou te dar um bizu. Sempre que tem uma parábola e uma reta, é só olhar a concavidade da parábola para saber se ela limita região por cima ou por baixo. Como a concavidade está voltada para cima, para essa região ser fechada, a reta precisa limitar a região por cima e a parábola por baixo.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 2 + x (por cima) e y = g x = x 2 (por baixo). E em x , entre 0 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ - 1 2 2 + x - x 2 d x = 9 2

Nossa integral fica:

x - = 2 9   ∫ - 1 2 x ( 2 + x - x 2 ) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 1 2

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 2 9 ∫ - 1 2 1 2 2 + x 2 - x 4 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 8 5

Resposta

x - , y - = 1 2 , 8 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A função aceleração (em m/s) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre (a) a velocidade no instante t e (b) a distância pecorrida durante o interval
A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) o deslocamento e (b) a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo d
O custo marginal de fabricação de x metros de um certo tecido é C ' x = 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2 (em dólares por metro). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2000 para 4000 m
A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r t = 200 - 4 t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 50 . Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minu
Em 7 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS- 49 , cujo propósito era instalar uma peça nova em um satélite de comunicação do INTELSAT. A tabela dá os dados da velocidade