Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 43

43. Pode-se mostrar que todo intervalo contém números racionais e irracionais. Aceitando isso, a função.

f x = 1   s e   x   r a c i o n a l 0   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l

Pode ser integrável em um intervalo fechado [ a , b ] ? Explique seu raciocínio.

Passo 1

Faremos pela soma de Riemann e veremos se as somas de Riemann são iguais para qualquer valor de x k * .

A soma de Riemann:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k

Passo 2

Escolhemos para x k * valores racionais e calcularemos a soma de Riemman para essa soma:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 1 ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ∆ x k = b - a

Passo 3

Agora vamos calcular o valor da soma de Riemman, escolhendo para x k * valores irracionais:

lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x k = lim max ⁡ ∆ k → 0 ⁡ ∑ k = 1 n ( 0 ) ∆ x k = 0

E os valores da soma de Riemman são diferentes, então podemos afirmar que a função

f x = 1   s e   x   r a c i o n a l 0   s e   x   f o r   i r r a c i o n a l

É não integrável.

Resposta

É não integrável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ 0 9 2 td t
Calcule a integral ∫ 1 9 3 x - 2 x . d x
Calcule a integral. ∫ 1 64 1 + x 3 xd x
Calcule a integral. ∫ - 2 - 1 4 y 3 + 2 y 3 d y
Calcule a integral. ∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θd θ