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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 6

Calcule:

int (x + 3)/((x - 1)^2) d x

Passo 1

Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:

Sejam alpha , beta , m e n reais dados, com alpha != beta . Então existem constantes A e B tais que:

a ) (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/(( x - beta )) ;

b ) (m x + n)/((x - alpha)^2) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/((x - alpha)^2) .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Vamos aplicar o teorema:

(x + 3)/((x - 1)^2) = (A)/(( x - 1 )) + (B)/((x - 1)^2)

Aplicando o MMC, passamos a ter:

(x + 3)/((x - 1)^2) = (A (x - 1) + B)/((x - 1)^2)

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x + 3 = A (x - 1) + B

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 1 :

B = 3 + 1

B = 4

Para x = 2 :

5 = 4 + A

A = 1

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

int (x + 3)/((x - 1)^2) d x = int (1)/(x - 1) d x + int (4)/((x - 1)^2) d x

Passo 2

Vamos resolver separadamente as integrais:

E q . 1 = int (1)/(x - 1) d x

E q . 2 = int (4)/((x - 1)^2) d x

Lembrando:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) ; n != - 1

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:

int (1)/(x - 1) d x = l n |x - 1| + C_1

Agora, vamos resolver nossa Eq.2:

int (4)/((x - 1)^2) d x = 4 int (1)/((x - 1)^2) d x

int (4)/((x - 1)^2) d x = (- 4)/(( x - 1 )) + C_2

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = ln |x - 1| + C_1 - (4)/(( x - 1 )) + C_2

Vamos adotar: C_1 + C_2 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

int (x + 3)/((x - 1)^2) d x = ln |x - 1| - (4)/(( x - 1 )) + C

Resposta

int (x + 3)/((x - 1)^2) d x = = ln |x - 1| - (4)/(( x - 1 )) + C

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