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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 5

Calcule:

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x

Passo 1

Para resolver a integral, vamos fazer uso de uma substituição simples:

u = x - 1 => x = u + 1

Como:

u = x - 1

(d u)/(d x) = 1

d u = d x

Agora, reescrevemos a integral:

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = int (5 (u + 1)^2 + 1)/(u) d u

Passo 2

Vamos desenvolvê-la, meus consagrados:

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = int (5 ( u^2 + 2 u + 1 ) + 1)/(u) d u

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = int (5 u^2 + 10 u + 5 + 1)/(u) d u

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = int (5 u^2 + 10 u + 6)/(u) d u

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = int (5 u^2)/(u) d u + int (10 u)/(u) d u + int (6)/(u) d u

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = 5 int u d u + 10 int 1 d u + 6 int (1)/(u) d u

Lembrando:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) ; n != - 1

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Por fim, iremos resolver nossa querida integral:

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) u^2 + 10 u + 6 ln |u| + C

Agora, vamos usar novamente a substituição: u = x - 1 .

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) ( x - 1 )^2 + 10 ( x - 1 ) + 6 ln |x - 1| + C

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) ( x^2 - 2 x + 1 ) + 10 ( x - 1 ) + 6 ln |x - 1| + C

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) x^2 - 5 x + (5)/(2) + 10 x - 10 + 6 ln |x - 1| + C

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) x^2 + 5 x - (15)/(2) + 6 ln |x - 1| + C

Por fim, temos nossa resposta após colocar (5)/(2) em evidência:

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) ( x^2 + 2 x - 3 ) + 6 ln |x - 1| + C

Resposta

int (5 x^2 + 1)/(x - 1) d x = (5)/(2) ( x^2 + 2 x - 3 ) + 6 ln |x - 1| + C

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