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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 8

Calcule:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x

Passo 1

Inicialmente, para resolvermos essa integral, vamos fazer a seguinte substituição simples:

u = x - 2 => x = u + 2

E, portanto:

u = x - 2

(d u)/(d x) = 1

d u = d x

Logo:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (( u + 2 )^2 + 1)/(u^3) d u

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (u^2 + 4 u + 4 + 1)/(u^3) d u

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (u^2 + 4 u + 5)/(u^3) d u

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (u^2)/(u^3) d u + int (4 u)/(u^3) d u + int (5)/(u^3) d u

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = int (1)/(u) d u + 4 int (1)/(u^2) d u + 5 int (1)/(u^3) d u

Lembrando:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) ; n != - 1

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

Então:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |u| - (4)/(u) - (5)/(2 u^2) + C

Fazendo uso, novamente da substituição:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| - (4)/(( x - 2 )) - (5)/(2 ( x - 2 )^2) + C

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| - (( 8 (x - 2) + 5 ))/(2 ( x - 2 )^2) + C

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| - (( 8 x - 16 + 5 ))/(2 ( x - 2 )^2) + C

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| - (( 8 x - 1 1 ))/(2 ( x - 2 )^2) + C

Por fim, temos, como solução:

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| + (11 - 8 x)/(2 ( x - 2 )^2) + C

Resposta

int (x^2 + 1)/((x - 2)^3) d x = l n |x - 2| + (11 - 8 x)/(2 ( x - 2 )^2) + C

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