Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 7
Calcule:
Passo 1
Para resolvermos nossa integral, vamos fazer uso de uma técnica algébrica para facilitar nossas vidas que é dada por:
Dada uma equação do segundo grau qualquer, escrita da forma:
Ela pode ser reescrita como:
Sendo e as soluções reais da equação.
Com essa informação em mãos, vamos reescrever a equação do segundo grau que temos:
Usando Baskhara:
Sendo:
Teremos:
Como:
Podemos reescrever nossa equação como sendo (sintam-se à vontade para verificar a validade da igualdade):
Sabendo dessa informação, podemos fazer alguns ajustes algébricos para reescrever nossa integral:
Passo 2
Chamaremos:
Resolveremos, inicialmente, a Eq.1:
Vamos fazer uma substituição simples, definindo:
E, portanto:
Logo:
Lembrando:
Usando, novamente, a substituição:
Logo, como:
Temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a Eq.2:
Para resolvê-la, iremos recorrer ao seguinte teorema:
Sejam reais dados, com . Então existem constantes tais que:
Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!
Podemos resolvê-la diretamente:
Aplicando o MMC, passamos a ter:
Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:
Vamos ditar valores para para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:
Para :
Para :
Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:
Vamos resolver separadamente, novamente:
Portanto:
Passo 4
Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:
Vamos adotar: , sendo uma constante real.
Logo, por fim: