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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 7

Calcule:

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x

Passo 1

Para resolvermos nossa integral, vamos fazer uso de uma técnica algébrica para facilitar nossas vidas que é dada por:

Dada uma equação do segundo grau qualquer, escrita da forma:

f (x) = a x^2 + b x + c

Ela pode ser reescrita como:

a x^2 + b x + c = a ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Sendo x_1 e x_2 as soluções reais da equação.

Com essa informação em mãos, vamos reescrever a equação do segundo grau que temos:

f (x) = x^2 - 2 x - 3

Usando Baskhara:

x_1 = (- b + sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) e x_2 = (- b - sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Sendo:

a = 1 b = - 2 c = - 3

Teremos:

x_1 = (- ( - 2 ) + sqrt(( - 2 )^2 - 4.1 . ( - 3 )))/(2.1)

x_1 = 3

x_2 = (- ( - 2 ) - sqrt((- 2)^2 - 4.1 . ( - 3 )))/(2.1)

x_2 = - 1

Como: a x^2 + b x + c = a ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Podemos reescrever nossa equação como sendo (sintam-se à vontade para verificar a validade da igualdade):

x^2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

Sabendo dessa informação, podemos fazer alguns ajustes algébricos para reescrever nossa integral:

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x = int (x^2 + ( 2 x + x ) + 1)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x = int (( x^2 + 2 x + 1 ) + x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x = int ((x + 1)^2)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x + int (x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

Passo 2

Chamaremos:

E q . 1 = int ((x + 1)^2)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

E q . 2 = int (x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

Resolveremos, inicialmente, a Eq.1:

int ((x + 1)^2)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x = int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x

Vamos fazer uma substituição simples, definindo:

u = x - 3 => x = u + 3

E, portanto:

u = x - 3

(d u)/(d x) = 1

d u = d x

Logo:

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = int (( u + 3 ) + 1)/(u) d u

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = int (u + 4)/(u) d u

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = int (u)/(u) d u + int (4)/(u) d u

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = int 1 d u + 4 int (1)/(u) d u

Lembrando:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) ; n != - 1

int (1)/(m x + n) d x = (1)/(m) l n | m x + n |

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = int 1 d u + 4 int (1)/(u) d u

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = u + 4 l n |u| + C_1

Usando, novamente, a substituição:

int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x = (x - 3) + 4 l n |x - 3| + C_1

Logo, como:

int ((x + 1)^2)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x = int (( x + 1 ))/(( x - 3 )) d x

Temos:

E q . 1 = int ((x + 1)^2)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x = (x - 3) + 4 l n |x - 3| + C_1

Passo 3

Agora, vamos resolver a Eq.2:

int (x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x

Para resolvê-la, iremos recorrer ao seguinte teorema:

Sejam alpha , beta , m e n reais dados, com alpha != beta . Então existem constantes A e B tais que:

a ) (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/(( x - beta )) ;

b ) (m x + n)/((x - alpha)^2) = (A)/(( x - alpha )) + (B)/((x - alpha)^2) .

Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!

Podemos resolvê-la diretamente:

(x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) = (A)/(( x - 3 )) + (B)/(( x + 1 ))

Aplicando o MMC, passamos a ter:

(x)/((x - 3) (x + 1)) = (A ( x + 1 ) + B ( x - 3 ))/(( x - 3 ) ( x + 1 ))

Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:

x = A (x + 1) + B ( x - 3 )

Vamos ditar valores para x para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:

Para x = 3 :

4 A = 3

A = (3)/(4)

Para x = - 1 :

- 4 B = - 1

B = (1)/(4)

Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:

int (x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x = int (3)/(4 ( x - 3 )) d x + int (1)/(4 ( x + 1 )) d x

Vamos resolver separadamente, novamente:

int (3)/(4 ( x - 3 )) d x = (3)/(4) int (1)/(( x - 3 )) d x

int (3)/(4 ( x - 3 )) d x = (3)/(4) ln |x - 3| + C_2

int (1)/(4 ( x + 1 )) d x = (1)/(4) int (1)/(( x + 1 )) d x

int (1)/(4 ( x + 1 )) d x = (1)/(4) l n |x + 1| + C_3

Portanto:

E q . 2 = int (x)/(( x - 3 ) ( x + 1 )) d x = (3)/(4) ln |x - 3| + C_2 + (1)/(4) l n |x + 1| + C_3

Passo 4

Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:

E q . 1 + E q . 2 = (x - 3) + 4 l n |x - 3| + C_1 (3)/(4) ln |x - 3| + C_2 + (1)/(4) l n |x + 1| + C_3

Vamos adotar: C_1 + C_2 + C_3 = C , sendo C uma constante real.

Logo, por fim:

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x = (x - 3) + (19)/(4) ln |x - 3| + (1)/(4) l n |x + 1| + C

Resposta

int (x^2 + 3 x + 1)/(x^2 - 2 x - 3) d x = (x - 3) + (19)/(4) ln |x - 3| + (1)/(4) l n |x + 1| + C

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