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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 4

Calcule a integral

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x

Passo 1

Opa, bora pra mais uma integral?!

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que:

x = 4 sin (theta)

Se diferenciarmos, ficamos com:

d x = 4 cos (theta) d theta

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração:

theta_i n f e r i o r : 4 sin (theta) = 0 :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : 4 sin (theta) = 2 sqrt(3) :. theta = (pi)/(3)

Então agora vamos substituir isto na nossa integral

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x = int_0^((pi)/(3)) (4^3 sin^3 (theta))/(sqrt(16 - 16 sin^2 (theta))) 4 cos (theta) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(sqrt(16 [1 - sin^2 (theta)])) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(sqrt(16 cos^2 ( theta ))) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(4 c o s ( theta )) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(4 c o s ( theta )) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) sin^3 ( theta ) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) sin^2 ( theta ) s i n ( theta ) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (1 - cos^2 (theta)) sin (theta) d theta

Passo 2

Então agora vamos substituir na nossa integral

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x = int_0^((pi)/(3)) (4^3 sin^3 (theta))/(sqrt(16 - 16 sin^2 (theta))) 4 cos (theta) d theta

= 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(sqrt(16 [1 - sin^2 (theta)])) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(sqrt(16 cos^2 (theta))) d theta

4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(4 c o s ( theta )) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) (4 sin^3 (theta) cos (theta))/(4 c o s ( theta )) d theta

= 4^3 int_0^((pi)/(3)) sin^3 (theta) d theta = 4^3 int_0^((pi)/(3)) sin^2 (theta) sin (theta) d theta

= 4^3 int_0^((pi)/(3)) (1 - cos^2 (theta)) sin (theta) d theta

Passo 3

Vamos resolver a integral pelo método da substituição Seja u = c o s ( theta ) , temos que d u = - sin (theta) d theta . Calculando os novos limites de integração temos:

u_i n f e r i o r = cos (0) = 1

u_s u p e r i o r = cos ((pi)/(3)) = (1)/(2)

Substituindo, temos:

4^3 int_0^((pi)/(3)) (1 - cos^2 (theta)) sin (theta) d theta

= 4^3 int_1^((1)/(2)) (1 - u^2) (- d u) = 4^3 int_1^((1)/(2)) (u^2 - 1) d u

= 4^3 [(1)/(2) u^3 - u]_1^((1)/(2)) = 4^3 [((1)/(2) * (1)/(8) - (1)/(2)) - ((1)/(2) - 1)]

= 64 * ((1)/(16)) = 4

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x = 4

Resposta

int_0^(2 sqrt(3)) (x^3)/(sqrt(16 - x^2)) d x = 4

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