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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 16

Calcule a integral.

int_0^((sqrt(2))/(2)) (x ²)/(sqrt(1 - x ²)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos no denominador um formato que é possível usar uma das formas da Tabela de Substituição Trigonométrica, com a seguinte cara sqrt(a^2 - x^2) , então vamos ter a substituição:

x = a sen theta = 1 * sen theta = sen theta

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = cos theta d theta

Vamos ter que mudar os limites de integração também, o arco que tem seno igual a 0 é 0 rad, e o que tem seno igual a (sqrt(2))/(2) é (pi)/(4) rad:

A substituição ficamos com, :

int_0^((sqrt(2))/(2)) (x ²)/(sqrt(1 - x ²)) d x = int_0^((pi)/(4)) (sen^2 theta)/(sqrt(1 - sen^2 theta)) cos theta d theta = int_0^((pi)/(4)) (sen^2 theta)/(sqrt(cos^2 theta)) cos theta d theta = int_0^((pi)/(4)) (sen^2 theta)/(cos theta) cos theta d theta = int_0^((pi)/(4)) sen^2 theta d theta

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int sen^2 theta d theta

Vamos usar a identidade:

sen^2 x = (1 - cos 2 x)/(2)

Assim:

int sen^2 theta d theta = int (1 - cos 2 theta)/(2) d theta = int (1)/(2) d theta + int - (cos 2 theta)/(2) d theta

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Substituindo temos:

int sen^2 theta d theta = int (1)/(2) d theta + int - (cos 2 theta)/(2) d theta = (1)/(2) theta - (1)/(2) int cos 2 theta d theta = (1)/(2) theta - (1)/(4) sen 2 theta

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^((sqrt(2))/(2)) (x ²)/(sqrt(1 - x ²)) d x = int_0^((pi)/(4)) sen^2 theta d theta = ((1)/(2) theta - (1)/(4) sen 2 theta)_0^((pi)/(4)) = (1)/(2) . (pi)/(4) - (1)/(4) sen 2 . (pi)/(4) - ((1)/(2) . 0 - (1)/(4) sen 2.0) = (pi)/(8) - (1)/(4)

Resposta

int_0^((sqrt(2))/(2)) (x ²)/(sqrt(1 - x ²)) d x = (pi)/(8) - (1)/(4)

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