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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 6

Calcule a integral

int_0^2 x^3 sqrt(x^2 + 4) d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = 2 tan (theta)

Se diferenciarmos, ficamos com

d x = 2 sec^2 ( theta ) d theta

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração

theta_i n f e r i o r : 2 tan (theta) = 0 :. theta = 0

theta_s u p e r i o r : 2 tan (theta) = 2 :. theta = (pi)/(4)

Então, agora vamos substituir isto na nossa integral

int_0^2 x^3 sqrt(x^2 + 4) d x = int_0^((pi)/(4)) 8 tan^3 (theta) sqrt(4 tan^2 (theta) + 4) * 2 sec^2 (theta) d theta = 16 int_0^((pi)/(4)) tan^3 ( theta ) sqrt(4 [tan^2 (theta) + 1]) * sec^2 (theta) d theta

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan^2 (theta) + 1 = sec^2 ( theta ) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

int_0^2 x^3 sqrt(x^2 + 4) d x = 16 int_0^((pi)/(4)) tan^3 ( theta ) sqrt(4 [tan^2 (theta) + 1]) * sec^2 (theta) d theta = 16 int_0^((pi)/(4)) tan^3 ( theta ) sqrt(4 sec^2 (theta)) * sec^2 (theta) d theta = 32 int_0^((pi)/(4)) tan^3 ( theta ) * sec (theta) * sec^2 (theta) d theta = 32 int_0^((pi)/(4)) tan^2 ( theta ) * sec (theta) * sec^2 (theta) * tan (theta) d theta = 32 int_0^((pi)/(4)) ( sec^2 (theta) - 1 ) * sec^2 (theta) * sec (theta) * tan (theta) d theta

Passo 2

Vamos resolver a integral pelo método da substituição

Seja u = sec (theta) , temos que d u = sec (theta) tan (theta) d theta . Calculando os novos limites de integração temos

u_i n f e r i o r = sec (0) = 1

u_s u p e r i o r = sec ((pi)/(4)) = sqrt(2)

Então

32 int_0^((pi)/(4)) ( sec^2 (theta) - 1 ) * sec^2 (theta) * sec (theta) * tan (theta) d theta = 32 int_1^(sqrt(2)) (u^2 - 1) u^2 d u = 32 int_1^(sqrt(2)) (u^4 - u^2) d u = 32 [(1)/(5) u^5 - (1)/(3) u^3]_1^(sqrt(2)) = 32 [((1)/(5) * 4 sqrt(2) - (1)/(3) * 2 sqrt(2)) - ((1)/(5) - (1)/(3))] = 32 ((2)/(15) sqrt(2) + (2)/(15)) = (64)/(15) (sqrt(2) + 1)

Resposta

int_0^2 x^3 sqrt(x^2 + 4) d x = (64)/(15) (sqrt(2) + 1)

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