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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 33

Calcule a integral.

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função f (x) = sqrt(3 - 2 x - x^2) . Pra isso, primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa.

Vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz, fatorando ela na forma:

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x = int sqrt(- (x^2 + 2 x + 1) + 4) d x = int sqrt(- (x + 1)^2 + 2^2) d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer. Repare que isso tem cara de substituição trigonométrica, porque nossa raiz agora tem a forma sqrt(a^2 - x^2) . Isso nos indica que podemos usar a substituição:

x = a sen x

Assim, teremos:

x + 1 = 2 sen theta -> theta = sen^(- 1) ((x + 1)/(2))

Vamos agora achar diferencial:

d x = 2 cos theta d theta

Substituindo isso na função, vamos calcular nossa integral em relação a theta e depois vamos voltar à nossa variável original x .

Vamos lá!

Passo 2

Fazendo a substituição ficamos com:

int sqrt(- (x + 1)^2 + 2^2) d x = int sqrt(- 4 sen^2 theta + 4) 2 cos theta d theta

Colocando 4 em evidência dentro da raiz:

int sqrt(4 (- sen^2 theta + 1)) 2 cos theta d theta

Usando a identidade cos^2 theta = 1 - sin^2 theta , temos:

= int sqrt(4 cos^2 theta) 2 cos theta d theta

E tirando a raiz quadrada:

int 2 cos theta 2 cos theta d theta

= int 4 cos^2 theta d theta

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica, fazendo cos^2 theta = (1 + cos 2 theta)/(2) :

= 2 int 1 + cos 2 theta d theta

= 2 int d theta + 2 int cos 2 theta d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

2 int d theta + 2 int cos 2 theta d theta = 2 theta + (2 sen 2 theta)/(2) + C = 2 theta + sen 2 theta + C

Como sin 2 theta = sin theta cos theta , podemos escrever:

= 2 theta + sen theta cos theta + C

Passo 4

Agora só falta voltarmos a nossa variável original x , usando a substituição que fizemos lá no primeiro passo ( theta = sen^(- 1) ((x + 1)/(2)) ). Assim, teremos:

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x

= 2 theta + sen 2 theta + C

= 2 sin^(- 1) ((x + 1)/(2)) + sen (2 sen^(- 1) ((x + 1)/(2))) * 2 sqrt(3 - 2 x - x^2) + C

Simplificando:

= 2 sin^(- 1) ((x + 1)/(2)) + (x + 1)/(2) sqrt(3 - 2 x - x^2) + C

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

int sqrt(3 - 2 x - x^2) d x = 2 sin^(- 1) ((x + 1)/(2)) + (x + 1)/(2) sqrt(3 - 2 x - x^2) + C

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