Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 33
Calcule a integral.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular a integral indefinida da função . Pra isso, primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa.
Vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz, fatorando ela na forma:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer. Repare que isso tem cara de substituição trigonométrica, porque nossa raiz agora tem a forma . Isso nos indica que podemos usar a substituição:
Assim, teremos:
Vamos agora achar diferencial:
Substituindo isso na função, vamos calcular nossa integral em relação a e depois vamos voltar à nossa variável original .
Vamos lá!
Passo 2
Fazendo a substituição ficamos com:
Colocando em evidência dentro da raiz:
Usando a identidade , temos:
E tirando a raiz quadrada:
Agora vamos usar outra identidade trigonométrica, fazendo :
Passo 3
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Como , podemos escrever:
Passo 4
Agora só falta voltarmos a nossa variável original , usando a substituição que fizemos lá no primeiro passo (). Assim, teremos:
Simplificando:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉