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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 9

Calcule a integral.

int_1^3 r^4 ln r d r

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já está simplificada, então vamos ver se dá para usar Substituição Simples. Infelizmente não tem nenhuma parte dentro da integral que seja derivada dela, então vamos tentar Integração por Partes:

int f (x) g^' (x) d x = f (x) g (x) - int g (x) f^' (x) d x

Vamos ver o que usamos como f (x) e g ' (x) : se usarmos f (r) = r^4 e g ' (r) = ln r d r vamos ter f^' (r) = 4 r^3 d r e para calcular g (r) vai ser complicado, vamos então tentar de outra forma.

Vamos fazer então f (r) = ln r e g ' (r) = r^4 d r :

f^' (r) = (1)/(r) d r e g (r) = (r^5)/(5)

Vamos substituir agora:

int ln r . r^4 d r = ln r . (r^5)/(5) - int (r^5)/(5) . (1)/(r) d r = (r^5)/(5) ln r - int (r^4)/(5) d r

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar. Vamos resolver a integral separadamente, e aí voltamos à expressão:

int (r^4)/(5) d r = (1)/(5) int r^4 d u = (1)/(5) * ((r^(4 + 1))/(4 + 1)) = (1)/(5) * (r^5)/(5) = (r^5)/(25) + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_1^3 ln r . r^4 = ((r^5)/(5) ln r)_1^3 - int_1^3 (r^4)/(5) d r = ((3^5)/(5) ln 3 - (1^5)/(5) ln 1) - ((3^5)/(25) - (1^5)/(25)) = (243)/(3) ln 3 - ((243)/(25) - (1)/(25)) = (243)/(3) ln 3 - (242)/(25)

Resposta

int_1^3 r^4 ln r d r = (243)/(3) ln 3 - (242)/(25)

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