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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 4

Calcule a integral indefinida:

int x 3^x d x

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

[[d,v,=,3^x,d,x,v,=,,?],[u,=,x,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,3^x,d,x,v,=,int 3^x d x =,(3^x)/(ln 3),+,C],[u,=,x,d,u,=,,1,d,x]]

Devemos lembrar que ((3^x)/(ln 3))^' = (3^x * ln 3)/(ln 3) = 3^x . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace x) underset(d v)(ubrace 3^x d x) = underset(u)(ubrace x) underset(v)(ubrace ((3^x)/(ln 3))) - int underset(v)(ubrace (3^x)/(ln 3)) underset(d u)(ubrace 1 d x)

int x 3^x d x = (x 3^x)/(ln 3) - (1)/(ln 3) int 3^x d x = (x 3^x)/(ln 3) - (1)/(ln 3) ((3^x)/(ln 3)) + C

int x 3^x d x = (x 3^x ln 3 - 3^x)/(ln^2 3) + C = (3^x ( x * ln 3 - 1 ))/(ln^2 3) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int x 3^x d x = (3^x ( x * ln 3 - 1 ))/(ln^2 3) + C

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