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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 6

Calcule a integral indefinida:

int sen^(- 1) w d w

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

int sen^(- 1) w * 1 d w = int sen^(- 1) w * x^0 d w

Agora temos um produto de um polinômio com uma inversa trigonométrica!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a inversa trigonométrica. Teremos então:

[[d,v,=,1,d,w,v,=,,?],[u,=,sen^(- 1) w,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,1,d,w,v,=,int 1 d w =,w,+,C],[u,=,sen^(- 1) w,d,u,=,(d w)/(sqrt(1 - w^2))]]

Devemos lembrar que (sen^(- 1) w)^' = (1)/(sqrt(1 - w^2)) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace sen^(- 1) w) underset(d v)(ubrace 1 d w) = underset(u)(ubrace sen^(- 1) w) underset(v)(ubrace (w)) - int underset(v)(ubrace w) underset(d u)(ubrace (d w)/(sqrt(1 - w^2)))

int sen^(- 1) w d w = w sen^(- 1) w - int (w)/(sqrt(1 - w^2)) d w

Passo 4

Vamos precisar resolver int (w)/(sqrt(1 - w^2)) d w . Para isso, faremos a substituição:

[[u,=,1,-,w^2],[d,u,=,-,2,w,d,w,,->,,,(d u)/(- 2),=,w,d,w]]

A integral na variável u será uma integral imediata:

int (w)/(sqrt(1 - w^2)) d w = int (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(- 2)) = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(2) (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + C = - (1)/(2) (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) + C = - sqrt(u) + C

Voltando na variável w temos:

int (w)/(sqrt(1 - w^2)) d w = - sqrt(1 - w^2) + C

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

int sen^(- 1) w d w = w sen^(- 1) w - int (w)/(sqrt(1 - w^2)) d w = w sen^(- 1) w - (- sqrt(1 - w^2)) + C

int sen^(- 1) w d w = w sen^(- 1) w + sqrt(1 - w^2) + C

Não pode esquecer da constante, hein.

Resposta

int sen^(- 1) w d w = w sen^(- 1) w + sqrt(1 - w^2) + C

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