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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 14

Calcule a integral.

int (x^3)/(sqrt(1 + x ²)) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja conteúdo dessa raiz, assim:

u = 1 + x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 x d x = 2 x d x -> x d x = (d u)/(2)

Fazendo a substituição ficamos com:

int (x^3)/(sqrt(1 + x ²)) d x = int (x^2 . x)/(sqrt(1 + x ²)) d x = int (u - 1)/(2 sqrt(u)) d u = int (u)/(2 sqrt(u)) - (1)/(2 sqrt(u)) d u = int (u)/(2 sqrt(u)) d u + int - (1)/(2 sqrt(u)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer, vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Vamos simplificar um pouco essa primeira:

int (u)/(2 sqrt(u)) d u = (1)/(2) int (u)/(u^((1)/(2))) d u = (1)/(2) int u^(1 - (1)/(2)) d u = (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Então ficamos com:

int (u)/(2 sqrt(u)) d u = (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u = (1)/(2) * ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) = (1)/(2) * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (1)/(2) * (2 u^((3)/(2)))/(3) = (u^((3)/(2)))/(3) + C

Agora com a segunda integral:

int - (1)/(2 sqrt(u)) d u = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u

Vamos achar a primitiva usando a mesma expressão usada na integral anterior:

int - (1)/(2 sqrt(u)) d u = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(2) * ((u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1)) = - (1)/(2) * (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) = - (1)/(2) * 2 u^((1)/(2)) = - u^((1)/(2)) + C

Passo 3

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

int (u)/(2 sqrt(u)) d u + int - (1)/(2 sqrt(u)) d u = (u^((3)/(2)))/(3) + (- u^((1)/(2))) + C = (u^((3)/(2)))/(3) - u^((1)/(2)) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + x^2 :

int (x^3)/(sqrt(1 + x ²)) d x = int (u)/(2 sqrt(u)) d u + int - (1)/(2 sqrt(u)) d u = (u^((3)/(2)))/(3) - u^((1)/(2)) + C = ((1 + x^2)^((3)/(2)))/(3) - (1 + x^2)^((1)/(2)) + C

Resposta

int (x^3)/(sqrt(1 + x ²)) d x = ((1 + x^2)^((3)/(2)))/(3) - (1 + x^2)^((1)/(2)) + C

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