Calcule a integral.

∫ d x x + x x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x → u 2 = x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x x + x x = ∫ 2 u u + u 2 . u d u = ∫ 2 1 + u 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a + C

Então ficamos com:

∫ 2 1 + u 2 d u = 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 2 ∙ 1 1 tg - 1 ⁡ u 1 + C = 2 tg - 1 ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = x :

∫ d x x + x x = 2 tg - 1 ⁡ u + C = 2 tg - 1 ⁡ x + C

Resposta

∫ d x x + x x = 2 tg - 1 ⁡ x + C

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