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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 56

Calcule a integral.

int (d x)/(sqrt(x) + x sqrt(x))

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sqrt(x) -> u^2 = x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (d x)/(sqrt(x) + x sqrt(x)) = int (2 u)/(u + u^2 . u) d u = int (2)/(1 + u^2) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (d x)/(x^2 + a^2) = (1)/(a) tg^(- 1) ((x)/(a)) + C

Então ficamos com:

int (2)/(1 + u^2) d u = 2 int (1)/(1 + u^2) d u = 2 * (1)/(1) tg^(- 1) ((u)/(1)) + C = 2 tg^(- 1) (u) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sqrt(x) :

int (d x)/(sqrt(x) + x sqrt(x)) = 2 tg^(- 1) (u) + C = 2 tg^(- 1) (sqrt(x)) + C

Resposta

int (d x)/(sqrt(x) + x sqrt(x)) = 2 tg^(- 1) (sqrt(x)) + C

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