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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 32

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral

∫ sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ 9 - tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar a tabela de integrais presente no final do livro para resolver a integral. Assim, não utilizaremos diretamente as técnicas de integração conhecidas, pois na tabela temos a relação conhecida para resolver a integral da questão.

Passo 2

Primeiramente, iremos aplicar a seguinte substituição

u = tan ⁡ θ ; d u = sec 2 ⁡ θ d θ ; a = 3

∫ sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ 9 - tan 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 2 a 2 - u 2 d u

Passo 3

Utilizando a entrada 34 da tabela, podemos resolver a integral

∫ u 2 a 2 - u 2 d u = - u 2 a 2 - u 2 + a 2 2 sin 1 ⁡ u a + C

Voltando para θ , temos

- u 2 a 2 - u 2 + a 2 2 sin 1 ⁡ u a + C = - tan ⁡ θ 2 9 - tan 2 ⁡ θ + 9 2 sin - 1 ⁡ tan ⁡ θ 3 + C

Resposta

∫ sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ 9 - tan 2 ⁡ θ d θ = - tan ⁡ θ 2 9 - tan 2 ⁡ θ + 9 2 sin - 1 ⁡ tan ⁡ θ 3 + C

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