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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.6 - Ex. 36

Verifique a fórmula 31 a por derivação e b pela substituição u = a sin ⁡ θ   .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício estamos interessados em verificar a fórmula apresentada por dois métodos diferentes. Para isso, utilizaremos os conceitos de derivada e integral e utilizaremos também a tabela de integrais presente no final do livro.

Passo 2

( a ) Derivando em relação a u , temos

d d u u 8 2 u 2 - a 2 a 2 - u 2 + a 4 8 sin - 1 ⁡ u a + C = u 8 2 u 2 - a 2 - u a 2 - u 2 + a 2 - u 2 u 8 4 u + 1 8 2 u 2 - a 2 + a 4 8 1 / a 1 - u 2 / a 2

Podemos simplificar a expressão da seguinte maneira

u 8 2 u 2 - a 2 - u a 2 - u 2 + a 2 - u 2 u 8 4 u + 1 8 2 u 2 - a 2 + a 4 8 1 / a 1 - u 2 / a 2 = u 2 a 2 - u 2

Passo 3

( b ) Iremos utilizar a seguinte substituição

u = a sin ⁡ θ ; d u = a cos ⁡ θ   d θ

∫ u 2 a 2 - u 2 d u = ∫ ( a sin ⁡ θ ) 2 a 2 - ( a sin ⁡ θ ) 2 a cos ⁡ θ d θ

Podemos expandir a integral em

a 4 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ 2 θ d θ = a 4 4 ∫ 1 - 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ d θ

Resolvendo a integral, temos

a 4 4 ∫ 1 - 1 2 1 + cos ⁡ 4 θ d θ = a 4 8 sin - 1 ⁡ u a - u a a 2 - u 2 a 1 - 2 u 2 a 2 + C

a 4 8 sin - 1 ⁡ u a - u a a 2 - u 2 a 1 - 2 u 2 a 2 + C = u 8 2 u 2 - a 2 a 2 - u 2 + a 4 8 sin - 1 ⁡ u a + C

Resposta

Como a derivada e a integral da fórmula condizem, então a fórmula condiz com o que é esperado e desejamos provar.

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