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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 26

Calcule a integral.

int (x^2)/((3 + 4 x - 4 x^2)^((3)/(2))) d x

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos transformar este denominador em algo que possamos resolver por substituição trigonométrica, ok?

3 + 4 x - 4 x^2 = - (4 x^2 - 4 x - 3) = - (4 x^2 - 4 x + 1) + 4

Não mudou em nada, só fiz aparecer ali um quadrado perfeito. Já que:

4 x^2 - 4 x + 1 = ( 2 x - 1 ) ²

Dividindo tudo por 2 e multiplicando por 4, para não alterar o nosso quadrado:

4 x^2 - 4 x + 1 = 4 (x - (1)/(2)) ²

Então:

int (x^2)/((3 + 4 x - 4 x^2)^((3)/(2))) d x = int (x^2)/((4 - ( 4 (x - (1)/(2)) ²)^((3)/(2))) d x

Então vamos chamar:

u = x - (1)/(2)

Derivando:

d u = d x

Então:

= int (x^2)/((4 - 4 u ²)^((3)/(2))) d u

Já simplificamos muito, mas ainda temos um x perdido no numerador. Então vamos reorganizar o u para achar x²:

u + (1)/(2) = x

Elevando ao quadrado:

(u + (1)/(2)) ² = x ²

Multiplicamos por 2 e dividimos por 4 (caso contrário alteramos nossos resultados!!) e isso vai deixar nossos cálculos mais fáceis, podem acreditar!

((2 u + 1)^2)/(4) = x ²

Vamos substituir na integral:

= int ((2 u + 1) ²)/(4 (4 - 4 u ²)^((3)/(2))) d u

Colocando o 4 em evidência:

= int ((2 u + 1) ²)/(4 . 4^((3)/(2)) (1 - u ²)^((3)/(2))) d u

= int ((2 u + 1) ²)/(32 (1 - u ²)^((3)/(2))) d u

Tirando a constante da integral:

= (1)/(32) int ((2 u + 1) ²)/((1 - u ²)^((3)/(2))) d u

Passo 2

Vamos abrir o quadrado do numerador:

(2 u + 1) ² = 4 u ² + 4 u + 1

Então:

= (1)/(32) int (4 u ² + 4 u + 1)/((1 - u ²)^((3)/(2))) d u

Separando cada um dos termos:

= (1)/(32) int [(4 u^2)/((1 - u^2)^((3)/(2))) + (4 u)/((1 - u^2)^((3)/(2))) + (1)/((1 - u^2)^((3)/(2)))] d u

= (1)/(32) [int (4 u^2)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u + int (4 u)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u + int (1)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u]

Agora vamos resolver cada integral separadamente. Começando por:

int (4 u^2)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = 4 int (u^2)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u

Neste caso, a = 1 . E qual substituição usamos?

u = 1 . s e n theta

Derivando:

d u = cos theta . d theta

Bora colocar na integral:

= 4 int (s e n^2 theta)/((1 - s e n^2 theta)^((3)/(2))) . cos theta . d theta

Não se esqueçam:

1 - s e n^2 theta = cos ² theta

Então:

= 4 int (s e n^2 theta)/((cos ² theta)^((3)/(2))) . cos theta . d theta = 4 int (s e n^2 theta)/(cos^3 theta) . cos theta . d theta

= 4 int (s e n^2 theta)/(cos^2 theta) . d theta = 4 int t g ² theta . d theta

Estamos quase lá. Lembrando que:

t g ² theta = sec ² theta - 1

= 4 int ( sec ² theta - 1 ) . d theta = 4 [int sec^2 theta . d theta - int 1 . d theta]

= 4 [t g theta - theta]

Como achamos o ângulo?

Se u = s e n theta , então:

theta = s e n^(- 1) u

Ou seja:

= 4 [t g ( s e n^(- 1) u ) - s e n^(- 1) u]

Ainda não terminamos. Vamos usar a identidade:

t g (s e n^(- 1) u) = (u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))

Finalizando a primeira integral:

-> int (4 u^2)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = 4 [(u)/((1 - u^2)^((1)/(2))) - s e n^(- 1) u]

Passo 3

Ainda não acabamos né? Precisamos da próxima integral:

int (4 u)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = 4 int (u)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u

Vamos chamar:

v = 1 - u^2

Derivando:

d v = - 2 u . d u -> - (d v)/(2) = u . d u

Mais tranquilo aqui, não é?

= 4 int (1)/(v^((3)/(2))) . - (d v)/(2) = - (4)/(2) int v^(- (3)/(2)) . d v

= - 2 int v^(- (3)/(2)) . d v

Resolvendo:

= - 2 . (v^(- (3)/(2) + 1))/(- (3)/(2) + 1) = - 2 . (v^(- (1)/(2)))/(- (1)/(2))

= - 2 . - 2 . v^(- (1)/(2)) = (4)/(v^((1)/(2)))

Substituindo o v:

= (4)/(( 1 - u^2 )^((1)/(2)))

Então:

-> int (4 u)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = (4)/(( 1 - u^2 )^((1)/(2)))

Passo 4

Para a última:

int (1)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u

Podemos fazer a mesma substituição que fizemos no Passo 2:

u = s e n theta

Derivando:

d u = cos theta . d theta

Bora colocar na integral:

int (1)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = int (1)/((1 - s e n^2 theta)^((3)/(2))) . cos theta . d theta

Utilizando:

1 - s e n^2 theta = cos ² theta

= int (1)/(( cos ² theta )^((3)/(2))) . cos theta . d theta

= int (1)/(cos^3 theta) . cos theta . d theta = int (1)/(cos^2 theta) . d theta

Lembrando que:

(1)/(cos^2 theta) = s e c ² theta

= int s e c ² theta . d theta = t g theta

Também já sabemos qual é o valor de theta :

= t g (s e n^(- 1) u) = (u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))

Finalizando:

-> int (1)/((1 - u^2)^((3)/(2))) . d u = (u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))

Passo 5

Juro que estamos acabando. Basta colocar tudo isso na integral do Passo 2:

= (1)/(32) [4 [(u)/((1 - u^2)^((1)/(2))) - s e n^(- 1) u] + (4)/(( 1 - u^2 )^((1)/(2))) + (u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))]

= (1)/(32) [(4 u)/((1 - u^2)^((1)/(2))) - 4 s e n^(- 1) u + (4)/(( 1 - u^2 )^((1)/(2))) + (u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))]

= (1)/(32) [(5 u + 4)/((1 - u^2)^((1)/(2))) - 4 s e n^(- 1) u]

Tirando o MMC:

= (1)/(32) [(5 u + 4 - 4 (1 - u^2)^((1)/(2)) s e n^(- 1) u)/((1 - u^2)^((1)/(2)))]

= (5 u + 4 - 4 (1 - u^2)^((1)/(2)) s e n^(- 1) u)/(32 (1 - u^2)^((1)/(2)))

Lembrando que:

u = x - (1)/(2)

Então:

= (5 (x - (1)/(2)) + 4 - 4 (1 - (x - (1)/(2))^2)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (1 - (x - (1)/(2))^2)^((1)/(2)))

Abrindo a equação:

= (5 x - (5)/(2) + 4 - 4 (1 - (x^2 - x + (1)/(4)))^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (1 - (x^2 - x + (1)/(4)))^((1)/(2)))

= (5 x + (3)/(2) - 4 (1 - x^2 + x - (1)/(4))^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (1 - x^2 + x - (1)/(4))^((1)/(2)))

= (5 x + (3)/(2) - 4 (- x^2 + x + (3)/(4))^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (- x^2 + x + (3)/(4))^((1)/(2)))

= (5 x + (3)/(2) - 4 ((- 4 x^2 + 4 x + 3)/(4))^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 ((- 4 x^2 + 4 x + 3)/(4))^((1)/(2)))

= (5 x + (3)/(2) - (4)/(2) (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/((32)/(2) (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)))

= (5 x + (3)/(2) - 2 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(16 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)))

Tirando o MMC do numerador:

= (10 x + 3 - 4 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)))

Ufa! Essa não foi fácil ! Agora é só adicionarmos a constante:

= (10 x + 3 - 4 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2))) + C

Resposta

int (x^2)/((3 + 4 x - 4 x^2)^((3)/(2))) d x = (10 x + 3 - 4 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2)) s e n^(- 1) (x - (1)/(2)))/(32 (- 4 x^2 + 4 x + 3)^((1)/(2))) + C

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