Calcule a integral.

∫ x 2 3 + 4 x - 4 x 2 3 2 d x

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos transformar este denominador em algo que possamos resolver por substituição trigonométrica, ok?

3 + 4 x - 4 x 2 = - 4 x 2 - 4 x - 3 = - 4 x 2 - 4 x + 1 + 4

Não mudou em nada, só fiz aparecer ali um quadrado perfeito. Já que:

4 x 2 - 4 x + 1 = ( 2 x - 1 ) ²

Dividindo tudo por 2 e multiplicando por 4, para não alterar o nosso quadrado:

4 x 2 - 4 x + 1 = 4 x - 1 2 ²

Então:

∫ x 2 3 + 4 x - 4 x 2 3 2 d x = ∫ x 2 4 - ( 4 x - 1 2 ² 3 2 d x

Então vamos chamar:

u = x - 1 2

Derivando:

d u = d x

Então:

= ∫ x 2 4 - 4 u ² 3 2 d u

Já simplificamos muito, mas ainda temos um x perdido no numerador. Então vamos reorganizar o u para achar x²:

u + 1 2 = x

Elevando ao quadrado:

u + 1 2 ² = x ²

Multiplicamos por 2 e dividimos por 4 (caso contrário alteramos nossos resultados!!) e isso vai deixar nossos cálculos mais fáceis, podem acreditar!

2 u + 1 2 4 = x ²

Vamos substituir na integral:

= ∫ 2 u + 1 ² 4 4 - 4 u ² 3 2 d u

Colocando o 4 em evidência:

= ∫ 2 u + 1 ² 4 . 4 3 2 1 - u ² 3 2 d u

= ∫ 2 u + 1 ² 32 1 - u ² 3 2 d u

Tirando a constante da integral:

= 1 32 ∫ 2 u + 1 ² 1 - u ² 3 2 d u

Passo 2

Vamos abrir o quadrado do numerador:

2 u + 1 ² = 4 u ² + 4 u + 1

Então:

= 1 32 ∫ 4 u ² + 4 u + 1 1 - u ² 3 2 d u

Separando cada um dos termos:

= 1 32 ∫ 4 u 2 1 - u 2 3 2 + 4 u 1 - u 2 3 2 + 1 1 - u 2 3 2 d u

= 1 32 ∫ 4 u 2 1 - u 2 3 2 . d u + ∫ 4 u 1 - u 2 3 2 . d u + ∫ 1 1 - u 2 3 2 . d u

Agora vamos resolver cada integral separadamente. Começando por:

∫ 4 u 2 1 - u 2 3 2 . d u = 4 ∫ u 2 1 - u 2 3 2 . d u

Neste caso, a = 1 .   E qual substituição usamos?

u = 1 . s e n   θ

Derivando:

d u = cos ⁡ θ . d θ

Bora colocar na integral:

= 4 ∫ s e n 2 θ 1 - s e n 2 θ 3 2 . cos ⁡ θ . d θ

Não se esqueçam:

1 - s e n 2 θ = cos ² ⁡ θ

Então:

= 4 ∫ s e n 2 θ cos ² ⁡ θ 3 2 . cos ⁡ θ . d θ = 4 ∫ s e n 2 θ cos 3 ⁡ θ . cos ⁡ θ . d θ

= 4 ∫ s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ . d θ = 4 ∫ t g ² θ . d θ

Estamos quase lá. Lembrando que:

t g ² θ = sec ² ⁡ θ - 1

= 4 ∫ ( sec ² ⁡ θ - 1 ) . d θ = 4 ∫ sec 2 ⁡ θ . d θ - ∫ 1 . d θ

= 4 t g   θ   - θ

Como achamos o ângulo?

Se u = s e n   θ , então:

θ = s e n - 1 u

Ou seja:

= 4 t g (   s e n - 1 u   ) - s e n - 1 u

Ainda não terminamos. Vamos usar a identidade:

t g   s e n - 1 u   = u 1 - u 2 1 2

Finalizando a primeira integral:

→                 ∫ 4 u 2 1 - u 2 3 2 . d u = 4 u 1 - u 2 1 2 - s e n - 1 u

Passo 3

Ainda não acabamos né? Precisamos da próxima integral:

∫ 4 u 1 - u 2 3 2 . d u = 4 ∫ u 1 - u 2 3 2 . d u

Vamos chamar:

v = 1 - u 2

Derivando:

d v = - 2 u . d u → - d v 2 = u . d u

Mais tranquilo aqui, não é?

= 4 ∫ 1 v 3 2 . - d v 2 = - 4 2 ∫ v - 3 2 . d v

= - 2 ∫ v - 3 2 . d v

Resolvendo:

= - 2 . v - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 = - 2 . v - 1 2 - 1 2

= - 2 . - 2 .   v - 1 2 = 4 v 1 2

Substituindo o v:

= 4 ( 1 - u 2 ) 1 2

Então:

→                       ∫ 4 u 1 - u 2 3 2 . d u = 4 ( 1 - u 2 ) 1 2

Passo 4

Para a última:

∫ 1 1 - u 2 3 2 . d u

Podemos fazer a mesma substituição que fizemos no Passo 2:

u = s e n   θ

Derivando:

d u = cos ⁡ θ . d θ

Bora colocar na integral:

∫ 1 1 - u 2 3 2 . d u = ∫ 1 1 - s e n 2 θ 3 2 . cos ⁡ θ . d θ

Utilizando:

1 - s e n 2 θ = cos ² ⁡ θ

= ∫ 1 ( cos ² ⁡ θ ) 3 2 . cos ⁡ θ . d θ

= ∫ 1 cos 3 ⁡ θ . cos ⁡ θ . d θ = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ . d θ

Lembrando que:

1 cos 2 ⁡ θ = s e c ² θ

= ∫ s e c ² θ . d θ = t g   θ

Também já sabemos qual é o valor de θ :

= t g   s e n - 1 u   = u 1 - u 2 1 2

Finalizando:

→                 ∫ 1 1 - u 2 3 2 . d u = u 1 - u 2 1 2

Passo 5

Juro que estamos acabando. Basta colocar tudo isso na integral do Passo 2:

= 1 32 4 u 1 - u 2 1 2 - s e n - 1 u + 4 ( 1 - u 2 ) 1 2 + u 1 - u 2 1 2

= 1 32 4 u 1 - u 2 1 2 - 4 s e n - 1 u + 4 ( 1 - u 2 ) 1 2 + u 1 - u 2 1 2

= 1 32 5 u + 4 1 - u 2 1 2 - 4 s e n - 1 u

Tirando o MMC:

= 1 32 5 u + 4 - 4 1 - u 2 1 2 s e n - 1 u 1 - u 2 1 2

= 5 u + 4 - 4 1 - u 2 1 2 s e n - 1 u 32 1 - u 2 1 2

Lembrando que:

u = x - 1 2

Então:

= 5 x - 1 2 + 4 - 4 1 - x - 1 2 2 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 1 - x - 1 2 2 1 2

Abrindo a equação:

= 5 x - 5 2 + 4 - 4 1 - x 2 - x + 1 4 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 1 - x 2 - x + 1 4 1 2

= 5 x + 3 2 - 4 1 - x 2 + x - 1 4 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 1 - x 2 + x - 1 4 1 2

= 5 x + 3 2 - 4 - x 2 + x + 3 4 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 - x 2 + x + 3 4 1 2

= 5 x + 3 2 - 4 - 4 x 2 + 4 x + 3 4 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 - 4 x 2 + 4 x + 3 4 1 2

= 5 x + 3 2 - 4 2 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 2 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2

= 5 x + 3 2 - 2 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 s e n - 1 x - 1 2 16 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2

Tirando o MMC do numerador:

= 10 x + 3 - 4 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2

Ufa! Essa não foi fácil ! Agora é só adicionarmos a constante:

= 10 x + 3 - 4 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 + C

Resposta

∫ x 2 3 + 4 x - 4 x 2 3 2 d x = 10 x + 3 - 4 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 s e n - 1 x - 1 2 32 - 4 x 2 + 4 x + 3 1 2 + C

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