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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 17

Calcule a integral.

int e^(2 theta) sen 3 theta d theta

Passo 1

Opa! Queremos calcular a seguinte integral:

int e^(2 theta) sen 3 theta d theta

Para isso, devemos utilizar a integração por partes, porque o integrando é um produto de 2 funções.

A integração por partes é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u . Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma trigonométrica. Então, por LIATE, vamos usar a trigonométrica para o valor de u :

Diremos que

u = sem 3 theta

d v = e^(2 theta) d theta

Agora vamos derivar u e integrar d v , pra encontrar os termos d u e v que aparecem na fórmula.

d u = 3 cos 3 theta d theta

v = (1)/(2) e^(2 theta)

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Sendo assim, aplicando a integração por partes, temos:

I = int e^(2 theta) sen 3 theta d theta = (1)/(2) e^(2 theta) sen 3 theta - (3)/(2) int e^(2 theta) cos 3 theta d theta

Após isso, fazemos novamente a integração por partes (para resolver a integral que nos restou):

U = cos 3 theta , d V = e^(2 theta) d theta -> d U = - 3 sen 3 theta d theta , V = (1)/(2) e^(2 theta)

Para termos

int e^(2 theta) cos 3 theta d theta = (1)/(2) e^(2 theta) cos 3 theta + (3)/(2) int e^(2 theta) sen 3 theta d theta

Passo 3

Substituindo na fórmula anterior:

I = (1)/(2) e^(2 theta) sen 3 theta - (3)/(4) e^(2 theta) cos 3 theta - (9)/(4) int e^(2 theta) sen 3 theta d theta :.

Perceba que I = int e^(2 theta) sen 3 theta d theta , portanto:

I = (1)/(2) e^(2 theta) sen 3 theta - (3)/(4) e^(2 theta) cos 3 theta - (9)/(4) I :.

(13)/(4) I = (1)/(2) e^(2 theta) sen 3 theta - (3)/(4) e^(2 theta) cos 3 theta + C_1

Consequentemente, isolando I :

I = (1)/(13) e^(2 theta) (2 sen 3 theta - 3 cos 3 theta) + C

Onde C = (4)/(13) C_1 .

Prontinho!

Resposta

(1)/(13) e^(2 theta) (2 sen 3 theta - 3 cos 3 theta) + C .

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