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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 66

Calcula o valor médio de f (x) = sec^2 x no intervalo [0 , (pi)/(4)]

Passo 1

Vamos relembrar a fórmula para achar o valor médio?

f_m e d = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x

Temos que a = 0 e b = (pi)/(4) . Vamos substituir ?

f_m e d = (1)/(b - a) int_a^b f (x) d x = (1)/((pi)/(4) - 0) int_0^((pi)/(4)) x sec^2 x d x

Vamos resolver a integral... como temos um produto de funções, vamos usar o método de integração por partes. Par isso, vamos fazer

u = x d u = d x

E,

d v = sec^2 x v = t g x d x

Sendo assim,

(1)/((pi)/(4) - 0) int_0^((pi)/(4)) x sec^2 x d x = (pi)/(4) {[x t g x]_0^((pi)/(4)) - int_0^((pi)/(4)) x sec^2 x d x}

Aplicando os limites de integração,

(pi)/(4) {[x t g x]_0^((pi)/(4)) - int_0^((pi)/(4)) x sec^2 x d x} = (pi)/(4) {(pi)/(4) - [ln |sec x|]_0^((pi)/(4))} = (pi)/(4) ((pi)/(4) - ln sqrt(2)) = 1 - (4)/(pi) ln sqrt(2)

Resposta

f_m e d = 1 - (4)/(pi) ln sqrt(2)

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