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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 40

Avalie a integral indefinida. Ilustre e verifique se a sua resposta é razoável usando o gráfico da função e de sua antiderivada (C=0).

∫ x 3 e x 2 d x

Passo 1

A resolução dessa integral tem duas partes! É preciso calma e paciência pra resolvê-lo. Vamos lá!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x 2                               ;                 d u = 2 x d x

d v = x e x 2 d x                 ;                       v = 1 2 e x 2

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2   x   e x 2 d x = 1 2 x 2 e x 2 - ∫ 1 2 e x 2 2 x d x

Organizando...

∫ x 2   x   e x 2 d x = 1 2 x 2 e x 2 - ∫ e x 2 x d x

A integral ∫ e x 2 x d x já temos calculada do Passo 1, então

∫ x 2   x   e x 2 d x = 1 2 x 2 e x 2 - 1 2 e x 2 + C

Logo,

∫ x 2   x   e x 2 d x = 1 2 e x 2 ( x 2 - 1 ) + C

Fazendo o gráfico, vemos que isso é razoável, uma vez que a função F tem um mínimo em que f muda de negativa para positiva.

Showw né?!!

Resposta

∫ x 3 e x 2 d x = 1 2 e x 2 ( x 2 - 1 ) + C

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