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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 2

Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.

∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ             ;     u = θ           d v = sec 2 ⁡ θ d θ  

Passo 1

Esse problema é bem facinho! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = θ                               ;                 d u = d x

d v = sec 2 ⁡ θ d θ                   ;                       v = tan ⁡ θ

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ     = θ × tan ⁡ θ - ∫ tan ⁡ θ d x

Resolvendo...

∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ   = θ × tan ⁡ θ - - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Logo,

∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ   = θ × tan ⁡ θ + ln ⁡ cos ⁡ x + C

Prontinho!!

Resposta

∫ θ sec 2 ⁡ θ d θ   = θ × tan ⁡ θ + ln ⁡ cos ⁡ x + C

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