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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 26

Avalie a integral.

int_0^1 x 5^x d x

Passo 1

Esse problema é bem tranquiloo! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x ; d u = d x

d v = 5^x d x ; v = (5^x)/(ln 5)

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int_0^1 x 5^x d x = [x (5^x)/(ln 5)]_0^1 - int_0^1 (5^x)/(ln 5) d x

Organizando, vamos colocar o termo constante da segunda integral para fora:

int_0^1 x 5^x d x = [x (5^x)/(ln 5)]_0^1 - (1)/(ln 5) int_0^1 5^x d x

Já sabemos o calculo da segunda integral quando fizemos no passo 1. Então, resolvendo isso:

int_0^1 x 5^x d x = [x (5^x)/(ln 5)]_0^1 - (1)/(ln 5) [(5^x)/(ln 5)]_0^1

Agora é só substituirmos os intervalos!!

int_0^1 x 5^x d x = [(1 xx (5^1)/(ln 5)) - (0 xx (5^0)/(ln 5))] - (1)/(ln 5) [(5^1)/(ln 5) - (5^0)/(ln 5)]

int_0^1 x 5^x d x = [(5)/(ln 5) - 0] - (1)/(ln 5) [(5)/(ln 5) - (1)/(ln 5)]

int_0^1 x 5^x d x = [(5)/(ln 5)] - (1)/(ln 5) [(4)/(ln 5)]

Logo, o nosso resultado será:

int_0^1 x 5^x d x = (5)/(ln 5) - (4)/((ln 5)^2)

Prontinho!!

Resposta

int_0^1 x 5^x d x = (5)/(ln 5) - (4)/((ln 5)^2)

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