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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 22

Avalie a integral.

int_1^4 sqrt(t) ln t d t

Passo 1

Esse problema é daqueles que precisamos ter calma e atenção! Só precisamos nos lembrar de três coisas: formulação da integral por partes, integrais e derivadas!

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

int u d v = u v - int v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = ln t ; d u = (1)/(t) d t

d v = sqrt(t) d t ; v = (2 t sqrt(t))/(3)

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

int u d v = u v - int v d u

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [(2)/(3) t sqrt(t) ln t]_1^4 - int_1^4 (2 t sqrt(t))/(3) xx (1)/(t) d t

Organizando:

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [(2)/(3) t sqrt(t) ln t]_1^4 - int_1^4 (2 t sqrt(t))/(3) xx (1)/(t) d t

Eliminando os t semelhantes na segunda integral:

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [(2)/(3) t sqrt(t) ln t]_1^4 - (2)/(3) int_1^4 sqrt(t) d t

Resolvendo:

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [(2)/(3) t sqrt(t) ln t]_1^4 - (2)/(3) [(2 t sqrt(t))/(3)]_1^4

Agora é só substituirmos os intervalos!!

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [((2)/(3) xx 4 sqrt(4) xx ln |4|) - ((2)/(3) sqrt(1) xx ln 1)] - (2)/(3) [ ((2 xx 4 sqrt(4))/(3) - (2 sqrt(1))/(3)) ]

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [((2 xx 8 xx ln | 4 |)/(3)) - (0)] - (2)/(3) [ ((2 xx 4 sqrt(4))/(3) - (2 sqrt(1))/(3)) ]

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = [(16 xx ln | 4 |)/(3)] - (2)/(3) [ (14)/(3) ]

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = (16 xx ln | 4 |)/(3) - (28)/(9)

Prontinho!!

Resposta

int_1^4 sqrt(t) ln t d t = (16 xx ln | 4 |)/(3) - (28)/(9)

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