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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 47

Use a integração por partes para provar a fórmula de redução.

∫ x 2 + a 2 n d x = x x 2 + a 2 n 2 n - 1 + 2 n a 2 2 n + 1 ∫ x 2 + a 2 n - 1 d x           ( n ≠ - 1 2 )

Passo 1

Tem fórmulas que a gente não sabe de onde vem né? Mas o Responde aí veio pra solucionar todas as suas dificuldades, caro leitor!! Vamos lá resolver mais um!

Essa formula de redução pode ser comprovada a partir de uma integração por partes. Então, como fazemos?

Para solucionarmos uma integral por partes, temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

O problema já nos dá o valor de u e d v , basta calcularmos a derivada e a integral, respectivamente:

u = x 2 + a 2 n                               ;                 d u = n x 2 + a 2 n - 1 2 x d x

d v = d x                 ;                       v = x

Agora vamos substituir!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x 2 + a 2 n d x = x x 2 + a 2 n - ∫ x   n x 2 + a 2 n - 1 2 x d x

Organizando...

∫ x 2 + a 2 n d x = x x 2 + a 2 n - 2 n ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

Colocamos a integral do primeiro membro para o segundo...

= x x 2 + a 2 n - 2 n ∫ x 2 + a 2 n d x - a 2 ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

Podemos dizer que x 2 = x 2 + a 2 - a 2 , logo

= x x 2 + a 2 n - 2 n ∫ x 2 + a 2 n d x + 2 n a 2 ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

2 n + 1 ∫ x 2 + a 2 n d x = x 2 + a 2 n - 2 n a 2 ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

Passando o ( 2 n + 1 ) para o segundo membro, vamos ter:

∫ x 2 + a 2 n d x = x 2 + a 2 n 2 n + 1 - 2 n a 2 2 n + 1 ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

Portanto, 2 n + 1 ≠ 0 , para que a fórmula seja válida.

Resposta

∫ x 2 + a 2 n d x = x 2 + a 2 n 2 n + 1 - 2 n a 2 2 n + 1 ∫ x 2   x 2 + a 2 n - 1 d x

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