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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 22

Calcule a integral.

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2)

Passo 1

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. Os fatores no denominador são lineares e se repetem, de modo que

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (A)/(s) + (B)/(s^2) + (C)/(s - 1) + (D)/((s - 1)^2)

Assim,

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (A s (s - 1)^2 + B (s - 1)^2 + C s^2 (s - 1) + D s^2)/(s^2 (s - 1)^2)

Portanto,

(A + C) s^3 + (- 2 A + B - C + D) s^2 + (- A - 2 B) s - B = 1

Daí, tiramos B = - 1 , A + C = 0 => A = - C . Temos também que - A - 2 B = 0 => A = - 2 B = 2 . Por outro lado, temos que A + C = 0 => C = - A = - 2 . Por fim, temos que

- 2 A + B - C + D = 0 => - 4 - 1 - (- 2) + D = 0 => D = 3

Assim,

(1)/(s^2 (s - 1)^2) = (2)/(s) - (1)/(s^2) - (2)/(s - 1) + (3)/((s - 1)^2)

Passo 2

Assim, a integral fica

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2) = int ((2)/(s) - (1)/(s^2) - (2)/(s - 1) + (3)/((s - 1)^2)) d s

Usando as primitivas:

int (d s)/(s^2 (s - 1)^2) = 2 ln | s | + (1)/(s) - 2 ln |s - 1| - (3)/(s - 1) + C

Resposta

2 ln | s | + (1)/(s) - 2 ln |s - 1| - (3)/(s - 1) + C

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