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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 27

Calcule a integral definida.

int_0^1 ((x^2 + 3 x + 3) d x)/(x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Primeiro devemos farotar o denominador. Fazemos isso facilmente por agrupamento, dessa forma:

x^3 + x^2 + x + 1 = x^2 (x + 1) + 1 (x + 1) = ( x + 1 ) ( x^2 + 1 )

Agora, vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

(x^2 + 3 x + 3)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (A)/(x + 1) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A)/(x + 1) + (B x + C)/(x^2 + 1) = (A (x^2 + 1) + (B x + C) (x + 1))/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 ))

= (A (x^2 + 1) + B (x^2 + x) + C ( x + 1 ))/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 ))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) x^2 + (B + C) x + ( A + C ))/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (x^2 + 3 x + 3)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 ))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 1
  2. B + C = 3
  3. A + C = 3

De (1) tiramos que B = 1 - A e de (2) que C = 3 - A . De (2), obtemos então 1 - A + 3 - A = 3 => 2 A = 1 => A = (1)/(2) . Então B = (1)/(2) e C = (5)/(2) . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(x^2 + 3 x + 3)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (1)/(2 ( x + 1 )) + (x + 5)/(2 ( x^2 + 1 ))

Passo 4

Agora podemos integrar:

int (x^2 + 3 x + 3)/(( x + 1 ) ( x^2 + 1 )) = (1)/(2) int (d x)/(( x + 1 )) + (1)/(2) int (( x + 5 ) d x)/(x^2 + 1)

A primeira integral calculamos facilmente:

(1)/(2) int (d x)/(( x + 1 )) = (1)/(2) ln ( x + 1 ) + C

Separamos a segunda integral em duas:

(1)/(2) int (( x + 5 ) d x)/(x^2 + 1) = (1)/(4) int (2 x d x)/(x^2 + 1) + (5)/(2) int (d x)/(x^2 + 1) = (1)/(4) ln (x^2 + 1) + (5)/(2) arctan x + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

int_0^1 ((x^2 + 3 x + 3) d x)/(x^3 + x^2 + x + 1) = ((1)/(2) ln ( x + 1 )|_0^1 + ((1)/(4) ln (x^2 + 1)|_0^1 + ((5)/(2) arctan x|_0^1

= (1)/(2) ln 2 - (1)/(2) ln 1 + (1)/(4) ln 2 - (1)/(4) ln 1 + (5)/(2) arctan 1 - (5)/(2) arctan 0 = (3)/(4) ln 2 + (5 pi)/(8)

Resposta

(3)/(4) ln 2 + (5 pi)/(8)

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