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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 55

Exercício: 55 – determine o volume do sólido gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo indicado.

Eixo x:

Passo 1

Como é pelo eixo x, os limites da integral será a = 0,5 e b = 2,5

Assim utilizando a fórmula do volume:

π ∫ a b f x 2   d x = π ∫ 0,5 2,5 3 3 x - x 2 2 d x = π ∫ 0,5 2,5 9 3 x - x 2 d x = 9 π ∫ 0,5 2,5 1 3 x - x 2 d x

Assim:

9 π ∫ 0,5 2,5 1 x ( 3 - x ) d x

Passo 2

Utilizando o método das frações parciais:

1 x 3 - x = A x + B 3 - x

Tirando mmc:

1 x 3 - x = A 3 - x + B x x ( 3 - x )

Assim:

1 = 3 A - A x + B x

Deste modo:

1 = - A + B x + 3 A

- A + B = 0   ; B = A

3 A = 1   ; A = 1 3 ; B = 1 3

Substituindo:

1 3 x + 1 3 3 - x = 1 3 x + 1 3 3 - x

Inserindo na integral de forma indefinida:

9 π ∫ 0,5 2,5 1 3 x + 1 3 3 - x   d x = 9 π ⋅ 1 3 ∫ 1 x + 1 3 - x d x = 3 π ∫ 1 x d x +   ∫ 1 3 - x d x = 3 π ln ⁡ x + ∫ - 1 x - 3 d x

Resolvendo a integral:

∫ 1 x - 3 d x

t = x - 3

d t =   1

d x = 1 d t = 1

- ∫ 1 ⋅ 1 t d t =   - ∫ 1 t d t =   - ln ⁡ t =   - ln ⁡ x - 3

Substituindo:

3 π ln ⁡ x - ln ⁡ x - 3 = 3 π ln ⁡ x x - 3 + C

Passo 3

Resolvendo os limites de integração:

3 π ln ⁡ x x - 3 0,5 2,5 = 3 π ln ⁡ 2,5 2,5 - 3 - ln ⁡ 0,5 0,5 - 3 = 3 π ln ⁡ 2,5 0,5 - ln ⁡ 0,5 - 2,5 =

3 π ln ⁡ 5 - ln ⁡ | - 0,2 | = 3 π ln ⁡ 5 - 3 π ln ⁡ 0,2

ln ⁡ 0,2 = ln ⁡ 5

3 π ln ⁡ 5 - 3 πln ⁡ 0,2

Assim:

3 π ln ⁡ 5 0,2 = 3 π ln ⁡ 25

Resposta

3 π ln ⁡ 25

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