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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 34

Calcule a integral.

int (x^3)/(x^3 + 1) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral e provavelmente teremos que usar integração por partes. Mas antes disso, note que o grau do numerador e igual ao do denominador, então precisamos dividir os polinômios:

x^3 = (x^3 + 1) * 1 - 1 = x^3 + 1 - 1

Assim,

(x^3)/(x^3 + 1) = 1 - (1)/(x^3 + 1)

Precisamos escrever a segunda parte usando a decomposição em frações parciais. Relembrando a fatoração de cubos:

x^3 + 1 = ( x + 1 ) ( x^2 - x + 1 )

Note que o fator quadrático é irredutível, de modo que

(1)/(x^3 + 1) = (A)/(x + 1) + (B x + C)/(x^2 - x + 1) = (A x^2 - A x + A + B x^2 + C x + B x + C)/(x^3 + 1)

Portanto,

{[[A + B = 0],[- A + B + C = 0],[A + C = 1]])

Assim, A = - B => - A - A + C = 0 => C = 2 A . Desta forma, A + C = 1 => 3 A = 1 => A = 1 // 3 e, consequentemente, B = - 1 // 3 e C = 2 // 3 . Portanto,

(x^3)/(x^3 + 1) = 1 - (1)/(3) * (1)/(x + 1) + (1)/(3) * ((x - 2)/(x^2 - x + 1))

Passo 2

Assim,

int (x^3)/(x^3 + 1) d x = int (1 - (1)/(3) * (1)/(x + 1) + (1)/(3) * ((x - 2)/(x^2 - x + 1))) d x

Logo,

int (x^3)/(x^3 + 1) d x = x - (1)/(3) ln |x + 1| + (1)/(3) int (x - 2)/(x^2 - x + 1) d x

Essa última integral é só o que nos falta resolver. Completando quadrados, temos que

x^2 - x + 1 = x^2 - x + (1)/(4) + 1 - (1)/(4) = (x - (1)/(2))^2 + (3)/(4)

Assim,

(1)/(3) int (x - 2)/(x^2 - x + 1) d x = (1)/(3) int (x - 2)/((x - (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x

Vamos fazer agora u = x - 1 // 2 :

(1)/(3) int (x - 2)/((x - (1)/(2))^2 + (3)/(4)) d x = (1)/(3) int (u + (1)/(2) - 2)/(u^2 + (3)/(4)) d u = (1)/(3) int (u - (3)/(2))/(u^2 + (3)/(4)) d u = (1)/(3) int (u)/(u^2 + (3)/(4)) d u - (1)/(2) int (1)/(u^2 + (3)/(4)) d u

A primeira integral é simples:

(1)/(3) int (u)/(u^2 + (3)/(4)) d u = (1)/(6) ln (u^2 + (3)/(4)) = (1)/(6) ln ( x^2 - x + 1 )

Já a segunda integral vai dar

(1)/(2) int (1)/(u^2 + (3)/(4)) d u = (1)/(2) * (2)/(sqrt(3)) a r c t g ((2 u)/(sqrt(3))) = (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2)))

Assim,

(1)/(3) int (x - 2)/(x^2 - x + 1) d x = (1)/(6) ln ( x^2 - x + 1 ) - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2)))

Passo 3

Por fim,

int (x^3)/(x^3 + 1) d x = x - (1)/(3) ln |x + 1| + (1)/(6) ln (x^2 - x + 1) - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2))) + C

Resposta

x - (1)/(3) ln |x + 1| + (1)/(6) ln (x^2 - x + 1) - (1)/(sqrt(3)) a r c t g ((2)/(sqrt(3)) (x - (1)/(2))) + C

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