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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 29

Calcule a integral definida.

int_(ln 2)^(ln 5) (12 d t)/(e^(2 t) + 16)

Passo 1

Podemos usar para resolver a integral a substituição u ( t ) = e^t , que nos dá d u = e^t d t => d t = (d u)/(e^t) = (d u)/(u) . Sabendo que u (ln 2) = e^(ln 2) = 2 e u (ln 5) = e^(ln 5) = 5 , a nossa integral então ficará então:

int_2^5 ((12 d u)/(u))/(u^2 + 16) = int_2^5 (12 d u)/(u (u^2 + 16))

Passo 2

Agora podemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

(12)/(u (u^2 + 16)) = (A)/(u) + (B u + C)/(u^2 + 16)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B e C . Vamos então fazer a soma:

(A)/(u) + (B u + C)/(u^2 + 16) = (A (u^2 + 16) + B u^2 + C u)/(u (u^2 + 16))

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de u .

Passo 3

A nossa fração então fica:

((A + B) u^2 + C u + 16 A)/(u (u^2 + 16)) = (12)/(u (u^2 + 16))

Cada valor que está multiplicado por uma potência de u deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 3 equações:

  1. A + B = 0
  2. C = 0
  3. 16 A = 12

Os valores são então A = (12)/(16) = (3)/(4) , B = - (3)/(4) e C = 0 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(12)/(u (u^2 + 16)) = (3)/(4 u) - (3 u)/(4 ( u^2 + 16 ))

Passo 4

Agora podemos integrar:

int (12 d u)/(u (u^2 + 16)) = (3)/(4) int (d u)/(u) - (3)/(8) int (2 u d u)/(u^2 + 16) = (3)/(4) ln u - (3)/(8) ln (u^2 + 16) + C

Então:

int_2^5 (12 d u)/(u (u^2 + 16)) = ((3)/(4) ln u|_2^5 - ((3)/(8) ln (u^2 + 16)|_2^5 = (3)/(4) ln 5 - (3)/(4) ln 2 - (3)/(8) ln 41 + (3)/(8) ln 20

= (3)/(4) ln 5 - (3)/(4) ln 2 - (3)/(8) ln 41 + (3)/(4) ln 2 + (3)/(8) ln 5 = (9 ln 5 - 3 ln 41)/(8)

Resposta

(9 ln 5 - 3 ln 41)/(8)

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