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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 44

Exercício: 44 – Calcule a integral abaixo:

int ((x + 1)^2 t g^(- 1) (3 x) + 9 x^3 + x)/((9 x^2 + 1) (x + 1)^2) d x

Passo 1

Primeiramente vamos separar as frações da integral:

int ((x + 1)^2 t g^(- 1) (3 x))/((9 x^2 + 1) (x + 1)^2) + (9 x^3 + x)/((9 x^2 + 1) (x + 1)^2) d x

Podemos simplificar na primeira expressão e separar as integrais:

int (t g^(- 1) 3 x)/(9 x^2 + 1) d x + int (9 x^3 + x)/((9 x^2 + 1) (x + 1)^2) d x

Colocando os termos em evidência:

int (t g^(- 1) 3 x)/(9 x^2 + 1) d x + int (x ( 9 x^2 + 1 ))/((9 x^2 + 1) (x + 1)^2) d x

Simplificado:

int (t g^(- 1) 3 x)/(9 x^2 + 1) d x + int (x)/((x + 1)^2) d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

int (t g^(- 1) 3 x)/(9 x^2 + 1) d x d x

Usando substituição udu:

u = t g^(- 1) 3 x

d u = (1)/(1 + (3 x)^2) * 3

d x = (1)/((1)/(1 + (3 x)^2) * 3)

Substituindo na integral:

int (u)/(9 x^2 + 1) * (1)/((1)/(1 + (3 x)^2) * 3) d u

int (u)/(9 x^2 + 1) * (1)/((3)/(1 + 9 x^2)) d u = int (u)/(9 x^2 + 1) * ((1 + 9 x^2))/(3) d u = int (u)/(3) d u = (u^2)/(3 * 2) = (u^2)/(6)

Para u = t g^(- 1) x

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(6)

Resolvendo o a segunda integral:

int (x)/((x + 1)^2) d x

Utilizando substituição udu:

u = x + 1 | x = u - 1

d u = 1

d x = (1)/(d u) = (1)/(1) = 1

int (u - 1)/(u^2) d u = (int (u)/(u^2) - (1)/(u^2) d u) = (int (1)/(u) d t - int (1)/(u^2) d u) = (ln (u) - (int u^(- 2) d u))

Assim:

(ln (u) - ((u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1))) = (ln u - ((u^(- 1))/(- 1))) = (ln u - (- (1)/(u)))

Dado u = x + 1

= (ln (x + 1) + (1)/(x + 1))

Passo 3

Unindo o resultado das integrais e somando a constante de integração, teremos:

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(6) + ln (x + 1) + (1)/(x + 1) + C

Resposta

((t g^(- 1) 2 x)^2)/(6) + ln (x + 1) + (1)/(x + 1) + C

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