Exercício: 44 – Calcule a integral abaixo:

∫ x + 1 2 t g - 1 3 x + 9 x 3 + x 9 x 2 + 1 x + 1 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos separar as frações da integral:

∫ x + 1 2 t g - 1 3 x 9 x 2 + 1 x + 1 2 + 9 x 3 + x 9 x 2 + 1 x + 1 2 d x

Podemos simplificar na primeira expressão e separar as integrais:

∫ t g - 1 3 x 9 x 2 + 1 d x + ∫ 9 x 3 + x 9 x 2 + 1 x + 1 2 d x

Colocando os termos em evidência:

∫ t g - 1 3 x 9 x 2 + 1 d x + ∫ x ( 9 x 2 + 1 ) 9 x 2 + 1 x + 1 2 d x

Simplificado:

∫ t g - 1 3 x 9 x 2 + 1 d x + ∫ x x + 1 2 d x

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

∫ t g - 1 3 x 9 x 2 + 1 d x d x

Usando substituição udu:

u = t g - 1 3 x

d u = 1 1 + 3 x 2 ⋅ 3

d x = 1 1 1 + 3 x 2 ⋅ 3

Substituindo na integral:

∫ u 9 x 2 + 1 ⋅ 1 1 1 + 3 x 2 ⋅ 3 d u

∫ u 9 x 2 + 1 ⋅ 1 3 1 + 9 x 2 d u = ∫ u 9 x 2 + 1 ⋅ 1 + 9 x 2 3 d u =   ∫ u 3 d u = u 2 3 ⋅ 2 = u 2 6

Para u = t g - 1 x

t g - 1 2 x 2 6

Resolvendo o a segunda integral:

∫ x x + 1 2   d x

Utilizando substituição udu:

u = x + 1       |   x = u - 1

d u = 1

d x = 1 d u = 1 1 = 1

∫ u - 1 u 2 d u =   ∫ u u 2 - 1 u 2 d u = ∫ 1 u d t -   ∫ 1 u 2 d u =   ln ⁡ u - ∫ u - 2 d u

Assim:

ln ⁡ u - u - 2 + 1 - 2 + 1 = ln ⁡ u - u - 1 - 1 = ln ⁡ u - - 1 u

Dado u = x + 1

= ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1

Passo 3

Unindo o resultado das integrais e somando a constante de integração, teremos:

t g - 1 2 x 2 6 + ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1 + C

Resposta

t g - 1 2 x 2 6 + ln ⁡ x + 1 + 1 x + 1 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados