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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 21

Calcule a integral.

∫ 1 4 ( 5 - 2 t - 3 t 2 ) d t

Passo 1

E aí, tudo certinho? Nessa questão, precisamos calcular a integral definida

∫ 1 4 5 - 2 t - 3 t 2 d t .

Mas, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, sabemos que:

∫ a b f t d t = F b - F a ,

onde a função F é uma primitiva de f , ou seja, F ' = f .

Repare que na nossa integral temos que a = 1 , b = 4 e

f t =   5 - 2 t - 3 t 2 .

Dessa forma, precisamos apenas encontrar uma primitiva F ( x ) de f e fazer as contas necessárias, beleza?

Para isso, vamos usar a Regra da Potência, que diz:

  • Uma primitiva da função x n é

x n + 1 n + 1

para n ≠ - 1 .

Vamos calcular essa integral 🤓?

Passo 2

Usando a Regra da Potência para cada um dos termos de

f t =   5 - 2 t - 3 t 2 ,

temos que uma primitiva é dada por

F t =   5 t - 2 t 2 2 - 3 t 3 3 .

Simplificando, temos:

F t = 5 t - t 2 - t 3 .

Pronto, achamos uma primitiva para a fun��ão f !

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral a partir do Teorema Fundamental do Cálculo.

Pelo Teorema temos que:

∫ 1 4 ( 5 - 2 t - 3 t 2 ) d t = F 4 - F 1 .

Mas como

F t = 5 t - t 2 - t 3 ,

então

F 4 = 5 4 - 4 2 - 4 3 ,

ou seja

F 4 = 20 - 16 - 64 =   - 60 ,

e

F 1 = 5 1 - 1 2 - 1 3 = 3 .  

então a integral procurada é:

∫ 1 4 ( 5 - 2 t - 3 t 2 ) d t = - 60 - 3 =   - 63 .

Resposta

A integral procurada é:

∫ 1 4 ( 5 - 2 t - 3 t 2 ) d t = - 63 .

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