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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 40

Calcule a integral

∫ 1 2 4 + u 2 u 3   d u

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi pedido para calcularmos a integral

∫ 1 2 4 + u 2 u 3   d u

Parece complicado?

Para responder esse problema vamos usar a parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x é a antiderivada de f x , ou seja, F ' x = f x .

Então o que precisamos fazer é encontrar a antiderivada de f u = 4 + u 2 u 3 e aplicar no teorema.

Podemos manipular a função f para deixá-la na forma potencial e calcular sua antiderivada pela regra da potência:

f x = a x n → F x = a x n + 1 n + 1 + C ,     n ≠ - 1

Mas também já adianto que vamos ter que usar também a regra para n = - 1

f x = 1 x → F x = ln ⁡ x + C

Show?

Passo 2

Vamos começar simplificando a função f ...

f u = 4 + u 2 u 3 = 4 u 3 + u 2 u 3

f u = 4 u - 3 + 1 u

Agora podemos calcular a sua antiderivada pelas regras que vimos no passo 1:

f u = 4 u - 3 + 1 u → F u = 4 u - 3 + 1 - 3 + 1 + ln ⁡ u + C

F u = - 2 u - 2 + ln ⁡ u + C

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Com a antiderivada de f calculada, podemos aplicar a parte 2 do TFC.

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 1 2 4 + u 2 u 3 d u = - 2 2 - 2 + ln ⁡ 2 + C - - 2 1 - 2 + ln ⁡ 1 + C

∫ 1 2 4 + u 2 u 3 d u = - 1 2 + ln ⁡ 2 + C + 2 - 0 - C

Perceba que sempre que temos uma integral definida as consantantes C se cancelam!

∫ 1 2 4 + u 2 u 3 d u = 3 2 + ln ⁡ 2

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ 1 2 4 + u 2 u 3   d u = ln ⁡ 2 + 3 2

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