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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1i

Calcule:

int_0^(+ oo) (1)/(s^2 + x^2) d x ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) (1)/(s^2 + x^2) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(s^2 + x^2) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, colocando s^2 em evidencia no denominador

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(s^2 + x^2) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(s^2 (1 + (x^2)/(s^2))) d x

Aplicando agora a substituição

{[[u = (x)/(s)],[d u = (1)/(s) d x => d x = s d u]])

Esquecendo os limites por enquanto, temos

int (1)/(s^2 (1 + (x^2)/(s^2))) d x = (1)/(s^2) int (s d u)/(1 + u^2)

= (1)/(s) int (d u)/(1 + u^2)

E essa integral é elementar

= (1)/(s) arctg u + C

Voltando à variável x

= (1)/(s) arctg ((x)/(s)) + C

Voltando ao limite temos

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A (1)/(s^2 (1 + (x^2)/(s^2))) d x = underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(s) arctg ((x)/(s))]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(s) arctg ((A)/(s)) - (1)/(s) arctg (0)]

Sabemos que arctg (0) = 0 e que com A -> + oo a fração (A)/(s) -> + oo e o limite

underset(x -> + oo)(lim) arctg (x) = (pi)/(2)

Então

underset(A -> + oo)(lim) [(1)/(s) arctg ((A)/(s)) - (1)/(s) arctg (0)] = (1)/(s) * (pi)/(2)

= (pi)/(2 s)

Resposta

(pi)/(2 s)

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