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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 3b

Calcule:

int_(- oo)^(- 1) (1)/(x^5) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_(- oo)^(- 1) (1)/(x^5) d x = underset(A -> - oo)(lim) int_A^(- 1) (1)/(x^5) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente

underset(A -> - oo)(lim) int_A^(- 1) (1)/(x^5) d x = underset(A -> - oo)(lim) int_A^(- 1) x^(- 5) d x

= underset(A -> - oo)(lim) [(x^(- 4))/(- 4)]_A^(- 1) = underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(4 x^4)]_A^(- 1)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(4 x^4)]_A^(- 1) = underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(4 ( - 1 )^4) + (1)/(4 A^4)]

Para A -> - oo temos que A^4 -> + oo e a segunda fração do limite -> 0 , portanto

underset(A -> - oo)(lim) [- (1)/(4 ( - 1 )^4) + (1)/(4 A^4)] = - (1)/(4)

Resposta

- (1)/(4)

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