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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1c

Calcule:

int_0^(+ oo) e^(- s x) d x ( s > 0 )

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s x) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, aplicando a substituição

{[[u ( x ) = - s x],[d u = - s d x => d x = (d u)/(- s)]])

Com os limites

{[[u (0) = - s * 0 = 0],[u (A) = - s * A = - s A]])

Temos então

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_0^(- s A) e^u (d u)/(- s)

= underset(A -> + oo)(lim) [- (e^u)/(s)]_0^(- s A)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [- (e^(- s A))/(s) + (e^0)/(s)] = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s A)) + (1)/(s)]

Com A -> + oo a sua exponencial e^(s A) -> + oo , logo a primeira fração vai para zero e temos que

underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(s e^(s A)) + (1)/(s)] = (1)/(s)

Resposta

(1)/(s)

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