Calcule:

∫ 2 + ∞ 1 x - 1   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 2 + ∞ 1 x - 1   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 x - 1   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, fazendo a substituição

u x = x - 1 d u = d x

Fazendo a mudança dos limites de integração

u 2 = 1 u A = A - 1

Substituindo

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 2 A 1 x - 1   d x   = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A - 1 1 u   d u  

= lim A → + ∞ ⁡ ln ⁡ u 1 A - 1  

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ ln ⁡ ( A - 1 ) - ln ⁡ 1

Com A → + ∞ o ln ⁡ ( A - 1 ) → + ∞ , logo o limite diverge

= + ∞

Resposta

+ ∞

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