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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1l

Calcule:

int_2^(+ oo) (1)/(x - 1) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_2^(+ oo) (1)/(x - 1) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(x - 1) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, fazendo a substituição

{[[u (x) = x - 1],[d u = d x]])

Fazendo a mudança dos limites de integração

{[[u (2) = 1],[u (A) = A - 1]])

Substituindo

underset(A -> + oo)(lim) int_2^A (1)/(x - 1) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^(A - 1) (1)/(u) d u

= underset(A -> + oo)(lim) [ln u]_1^(A - 1)

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [ln ( A - 1 ) - ln 1]

Com A -> + oo o ln ( A - 1 ) -> + oo , logo o limite diverge

= + oo

Resposta

+ oo

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