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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 9

Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

int_(- oo)^(- 2) (2)/(x^2 - 1) d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - oo , b ] , então:

int_(- oo)^b f (x) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_(- oo)^(- 2) (2)/(x^2 - 1) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^(- 2) (2)/(x^2 - 1) d x

Passo 2

Integrando, temos:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^(- 2) (2)/(x^2 - 1) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^(- 2) (1)/(x - 1) d x - int_a^(- 2) (1)/(x + 1) d x =

underset(a -> - oo)(lim) ( ln |x - 1| ) (​|_a^(- 2) - ( ln |x + 1| ) (​|_a^(- 2) = underset(a -> - oo)(lim) ln |(x - 1)/(x + 1)| (​|_a^(- 2) = underset(a -> - oo)(lim) ln |(- 3)/(- 1)| - ln |(b - 1)/(b + 1)|

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

ln 3 - ln ( underset(a -> - oo)(lim) (b - 1)/(b + 1) ) = ln 3 - ln 1 = ln 3

Resposta

ln 3

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