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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 8c

Sejam alpha e s , s > 0 , reais dados. Verifique que

int_0^(+ oo) e^(- s t) e^(alpha t) d t = (1)/(s - alpha) ( s > alpha )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s t) e^(alpha t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) e^(alpha t) d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) e^(alpha t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t + alpha t) d t

= underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- ( s - alpha ) t) d t = underset(A -> + oo)(lim) [- (e^(- (s - alpha) t))/(s - alpha)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^((s - alpha) t) (s - alpha))]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^((s - alpha) t) (s - alpha))]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(e^((s - alpha) A) (s - alpha)) + (1)/(e^0 (s - alpha))]

No limite a primeira fração vai zerar, então temos

int_0^(+ oo) e^(- s t) e^(alpha t) d t = (1)/(s - alpha)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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