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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 8f

Sejam alpha e s , s > 0 , reais dados. Verifique que

int_0^(+ oo) e^(- s t) t e^(alpha t) d t = (1)/((s - alpha)^2) ( s > alpha )

Passo 1

Como estamos tratando de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(- s t) t e^(alpha t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) t e^(alpha t) d t

Passo 2

Agora podemos calcular a integral

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t) t e^(alpha t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- s t + alpha t) t d t

= underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- ( s - alpha ) t) t d t

Usando a integração por partes

int f * g^' d t = f * g - int f^' * g d t

Neste caso nossas funções são

{[[f = t],[g^' = e^(- ( s - alpha ) t)]]) -> (f^' = 1)/(g = - (e^(- (s - alpha) t))/(s - alpha))

Então

int e^(- ( s - alpha ) t) t d t = - (t e^(- (s - alpha) t))/(s - alpha) + (1)/(s - alpha) int e^(- (s - alpha) t) d t

int e^(- ( s - alpha ) t) t d t = - (t e^(- (s - alpha) t))/(s - alpha) - (e^(- (s - alpha) t))/((s - alpha)^2) + C

No limite

underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(- ( s - alpha ) t) t d t = underset(A -> + oo)(lim) [- (t e^(- (s - alpha) t))/(s - alpha) - (e^(- (s - alpha) t))/((s - alpha)^2)]_0^A

= underset(A -> + oo)(lim) [- (t)/(( s - alpha ) e^((s - alpha) t)) - (1)/((s - alpha)^2 e^((s - alpha) t))]_0^A

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= underset(A -> + oo)(lim) [- (A)/((s - alpha) e^((s - alpha) A)) - (1)/((s - alpha)^2 e^((s - alpha) A)) + (0)/((s - alpha) e^0) + (1)/((s - alpha)^2 e^0)]

Vamos calcular o limite de cada fração separado

underset(A -> + oo)(l i m) (A)/((s - alpha) e^((s - alpha) A))

Utilizando L’Hospital

= underset(A -> + oo)(l i m) (1)/((s - alpha)^2 e^((s - alpha) A)) = 0

O segundo limite já foi calculado por tabela, então sobram somente as constantes, logo

int_0^(+ oo) e^(- s t) t e^(alpha t) d t = (0)/((s - alpha) e^0) + (1)/((s - alpha)^2 e^0)

= (1)/((s - alpha)^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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